긴 직선

일반위상수학에서 긴 직선(긴直線, 영어: long line)은 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이지만 파라콤팩트 공간이 아닌 위상 공간이다.

정의

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, 곱공간 ${\displaystyle \alpha \times \mathbb {R} _{\geq 0}}$에 사전식 순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간을 ${\displaystyle L_{\alpha }^{+}}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle L_{\alpha }}$를 집합

${\displaystyle (L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\})\times \{+,-\}\sqcup \{0\}}$

에 다음과 같은 전순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간으로 정의하자.

${\displaystyle (a,-)\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}$

${\displaystyle (a,-)\leq 0\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}$

${\displaystyle 0\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}$

${\displaystyle (a,-)\leq (b,-)\iff a\leq _{L_{\alpha }^{+}}b\qquad \forall a,b\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}$

긴 직선은 ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$이다. 여기서 ${\displaystyle \omega _{1}}$은 최소 비가산 순서수이다.

성질

${\displaystyle L_{\alpha }}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle L_{0}}$는 공집합이다.
• 만약 ${\displaystyle 0<\alpha <\omega _{1}}$이라면, ${\displaystyle L_{\alpha }\cong \mathbb {R} }$이다.
• ${\displaystyle L_{\omega _{1}}\not \cong \mathbb {R} }$이지만, ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$은 국소 유클리드 공간이다.
• 만약 ${\displaystyle \alpha >\omega _{1}}$이라면, ${\displaystyle L_{\alpha }}$는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, ${\displaystyle (\omega _{1},0,+)\in L_{\alpha }}$는 유클리드 공간과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

${\displaystyle L_{\alpha }}$의 크기는

${\displaystyle \max\{|\alpha |,2^{\aleph _{0}}\}}$

이다. 특히, 긴 직선 ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$은 실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 같은 크기이다.

긴 직선 ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 국소 유클리드 공간이다.
• T₄ 공간이다.
• 파라콤팩트 공간이 아니다. (따라서 다양체가 아니다.)
• 거리화 가능 공간이 아니다.
• 경로 연결 공간이며, 국소 경로 연결 공간이며, 단일 연결 공간이다.
• 축약 가능 공간이 아니다.
• 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니며, 분해 가능 공간이 아니다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Long line”. 《nLab》 (영어).
• “Long line”. 《Topospaces》 (영어).