꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 "특별한 이유가 없다면" ${\displaystyle rm\neq 0}$인 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 "특별한 이유가 없다면" ${\displaystyle r^{-1}m}$이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 ${\displaystyle R}$ 및 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$에서, 임의의 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여 만약 ${\displaystyle rs=0}$이라면, 당연히 ${\displaystyle r(sM)=0}$이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 ${\displaystyle rm\neq 0}$일 필요 조건은 ${\displaystyle m\not \in sM}$인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, ${\displaystyle M}$을 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 ${\displaystyle R}$ 및 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$에서, 임의의 ${\displaystyle s,r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle sr=0}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle s(rM)=0}$이므로, 임의의 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 ${\displaystyle r^{-1}m}$이 존재할 필요 조건은 ${\displaystyle sm=0}$인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, ${\displaystyle M}$을 나눗셈 가군이라고 한다.

정의

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Ann} (_{R}r)m=0}$이라면, ${\displaystyle m\in rM}$이다.^{[1]:§1[2]:70, Definition 3.16}
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/Rr,M)=0}$이다.^{[1]:Proposition 1′}

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle m\not \in \operatorname {Ann} (r_{R})M}$이라면, ${\displaystyle rm\neq 0}$이다.^{[1]:§1[3]:83, §2.8}
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0}$이다.^{[1]:Proposition 1}
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle rR\otimes _{R}M\to rM}$은 아벨 군의 동형이다.^{[3]:83, Proposition 2.8.4}

여기서

${\displaystyle \operatorname {Ann} (_{R}r)=\{s\in R\colon sr=0\}}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} (r_{R})=\{s\in R\colon rs=0\}}$

는 각각 ${\displaystyle r}$의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

${\displaystyle \operatorname {Ann} (r_{R})M=\{s_{1}m_{1}+s_{2}m_{2}+\cdots +s_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {s}}\in R^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}}$

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질

모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.^{[1]:Proposition 2[2]:Corollary 3.17′} 이는 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle _{R}{\mathfrak {A}}}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0}$인 것이기 때문이다.^{[4]:Lemma 4.1.11}

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring) 또는 절대 평탄환(영어: absolutely flat ring)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle r=rsr}$인 ${\displaystyle s\in R}$가 존재한다.
• 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.^{[1]:149, §2}
• 모든 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.^{[1]:149, §2}
• 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.^{[1]:149, §2}
• 모든 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.^{[1]:149, §2}
• 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
• 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
• 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle Rr=Re}$이자 ${\displaystyle e^{2}=e}$인 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.
• 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle rRr=eR}$이자 ${\displaystyle e^{2}=e}$인 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.
• 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R}$에 대하여, ${\displaystyle Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re}$이자 ${\displaystyle e^{2}=e}$인 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.
• 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R}$에 대하여, ${\displaystyle Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re}$이자 ${\displaystyle e^{2}=e}$인 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.

평탄 가군과의 관계

모든 왼쪽 평탄 가군 ${\displaystyle _{R}M}$은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.^{[1]:Proposition 2[2]:128, Proposition 4.20} 이는 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R}}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0}$인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[3]:84, Proposition 2.8.5}

• 평탄 왼쪽 가군이다.
• 임의의 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M}$이다.
• 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M}$이다.

여기서

${\displaystyle {\mathfrak {A}}M=\{a_{1}m_{1}+a_{2}m_{2}+\cdots +a_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {a}}\in {\mathfrak {A}}^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}}$

이다.