뇌터 정리

수리물리학에서 뇌터의 정리(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.^[1] 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

뇌터 정리 출판한 첫 페이지

장론에서의 뇌터 정리

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

${\displaystyle x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta _{\epsilon }x^{\mu }}$

${\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)+\delta _{\epsilon }\phi (x)=\phi (x')+\delta _{\epsilon }\phi (x')-\partial _{\mu }\phi (x')\delta _{\epsilon }x^{\mu }(x')}$

만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\partial _{\mu }(\epsilon J^{\mu }(x)-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}(x))}$

(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 ${\displaystyle J=0}$이 된다.) 이제

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\left({\frac {\partial L}{\partial \phi }}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }+\cdots \right)\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}$

${\displaystyle ={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\right)+\partial _{\mu }\left(\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)-\partial _{\mu }\left(\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)+\cdots }$

이다. 여기서

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}-\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}+\cdots }$

는 변분이다. 따라서,

${\displaystyle \epsilon j^{\mu }=J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)-\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots }$

${\displaystyle =J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)-\partial _{\nu }\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots }$

로 정의한다면

${\displaystyle \epsilon \partial \cdot j=-{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}$

이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}/\delta \phi =0}$이므로, 이러한 경로에서는 ${\displaystyle j^{\mu }}$가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

${\displaystyle Q=\int j^{0}(x)\;d^{3}x}$

역학에서의 뇌터 정리

고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

${\displaystyle \partial _{\mu }\mapsto {\frac {d}{dt}}}$

${\displaystyle x^{\mu }\to t}$

로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

${\displaystyle q'(t')=q(t)+\delta _{\epsilon }q(t)}$

${\displaystyle t'=t+\delta _{\epsilon }t}$

에 대하여, 라그랑지언 ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},\dots ,t)}$가

${\displaystyle L[q'(t),t]-L[q,t]=-{\dot {L}}\delta t+\epsilon {\dot {J}}}$

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

${\displaystyle Q=J-\delta _{\epsilon }t{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)-{\frac {d}{dt}}\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\cdots }$

은

${\displaystyle {\dot {Q}}=-{\frac {\delta L}{\delta q}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)}$

이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 ${\displaystyle q(t)}$에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

대칭	보존류	보존량
시공간 병진 대칭 ${\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$	에너지-운동량 텐서 ${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }}$	4차원 운동량 (에너지, 운동량)
회전 대칭 ${\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }x_{\rho }-\delta _{\rho }^{\mu }x_{\nu }}$	4차원 각운동량 밀도 ${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }x_{\rho }-T^{\mu }{}_{\rho }x_{\nu }}$	4차원 각운동량 (3차원 각운동량 ${\displaystyle \mathbf {L} }$, 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱[2] ${\displaystyle t\mathbf {p} -\mathbf {x} _{\text{com}}E}$)
확대 변환 ${\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{\mu }}$	확대류[3] ${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$	${\displaystyle tE-\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dV}}}$ (즉, ${\displaystyle E={\frac {d}{dt}}\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot d\mathbf {p} /dV}$)
특수 등각 변환 ${\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{2}\delta _{\nu }^{\mu }-2x^{\mu }x_{\nu }}$	${\displaystyle T^{\mu }{}_{\rho }(x^{2}\delta _{\nu }^{\rho }-2x^{\rho }x_{\nu })}$
전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: ${\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi =i\phi }$)	4차원 전류 밀도 ${\displaystyle j_{\mu }=\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi }$	전하
복소 페르미온 회전 ${\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi =i\psi }$	페르미온 수 보존류 ${\displaystyle {\bar {\psi }}i\gamma ^{\mu }\psi }$	페르미온 수
파동 함수 회전 ${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Psi =i\Psi }$	확률류 ${\displaystyle (|\Psi |^{2},{\frac {\hbar }{2mi}}(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}))}$	1 (=가능한 확률의 합)