니븐 상수

정수론에서 니븐 상수(Niven constant)는 이반 니븐(Ivan Niven)의 이름을 따서 이름붙여진 수학 상수이다.

양의 정수 n에 대하여, ${\displaystyle H(n)}$을 n의 소인수분해에 나타나는 가장 큰 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의하자. 또한 ${\displaystyle H(1)=1}$로 정의하자. 이 ${\displaystyle H(n)}$ 함수에 대해, 니븐 상수는 다음과 같이 정의된다:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{1} \over {n}}\sum _{k=1}^{n}H(k)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{{1} \over {\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots }$

여기서 ${\displaystyle \zeta (s)}$는 리만 제타 함수이다(Niven, 1969).

같은 논문에서, 니븐은

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})}$

임도 보였다. 여기서 ${\displaystyle h(n)}$은 양의 정수 n의 소인수분해에 나타나는 가장 작은 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의되며, ${\displaystyle h(1)=1}$이다. 또한, ${\displaystyle o}$는 작은 o 표기법을 나타내며 상수 ${\displaystyle c}$의 값은

${\displaystyle c={{\zeta \left({{3} \over {2}}\right)} \over {\zeta (3)}}}$

이다. 니븐의 식으로부터,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{1} \over {n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1}$

을 얻을 수 있다.

리만 제타 함수의 특수 값

${\displaystyle \zeta ({-1})=-{1 \over 12}}$

${\displaystyle \zeta ({0})=-{1 \over 2}}$

${\displaystyle \zeta \left({{1} \over {2}}\right)\approx -1.4603545....(OEISA059750)}$

${\displaystyle \zeta (1)=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+....=\infty }$

${\displaystyle \zeta \left({{3} \over {2}}\right)\approx 2.612....(OEISA078434)}$

${\displaystyle \zeta ({2})={\pi ^{2} \over {6}}=1.645....(OEISA013661)}$

${\displaystyle \zeta ({3})=1.202....(OEISA002117)}$

같이 보기

• 수학 상수
• 리만 제타 함수

참고

• Niven, Ivan M. (August 1969). “Averages of Exponents in Factoring Integers”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 22 (2): 356–360. doi:10.2307/2037055. JSTOR 2037055.
• Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003