다중근호

다중근호(多重根號, nested radical sign)는 루트 근호안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다.

다중근호는 고차방정식의 해, 수학 상수 등을 표현할 때 중요하게 사용된다.

다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다.

이중근호

루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다.

${\displaystyle {\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}}$

다중근호

루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다.

${\displaystyle {\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}},{\sqrt {({\sqrt {a}})^{2}+({\sqrt {b}})^{2}+2{\sqrt {ab}}}}}$

중첩근호

루트 근호안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다.

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1...}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}}$

다중근호의 계산

${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {(a)^{2}}}+{\sqrt {(b)^{2}}}+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{2}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right)}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}}$^[1]

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {a}}={\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {a}})^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a}})^{2}+({\sqrt {a}})^{2}+2{\sqrt {aa}}}}={\sqrt {(a+a)+2{\sqrt {a^{2}}}}}={\sqrt {(a+a)+2{a}}}={\sqrt {2a+2a}}={\sqrt {4a}}=2{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle \;\;{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}={\sqrt {(a+b+c)+2\left({\sqrt {ab}}+{\sqrt {ac}}+{\sqrt {bc}}\right)}}={\sqrt {{\sqrt {a}}^{2}+{\sqrt {b}}^{2}+{\sqrt {c}}^{2}+2{\sqrt {ab}}+2{\sqrt {ac}}+2{\sqrt {bc}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)}}{\sqrt {\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)}}}$

고차방정식의 해

3차방정식이상의 일반적인 근에서 다중근호가 사용된다. 다음은 4차방정식의 근의 공식이다.

${\displaystyle \textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\ }$

${\displaystyle x=-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right),-{b \over 4a}+\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right)}$

${\displaystyle ,-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}+{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right),-{b \over 4a}-\left({{{\sqrt {p+2t_{1}}}-{\sqrt {-3p-2{t_{1}}-{2q \over {\sqrt {p+2t_{1}}}}}}} \over {2a}}\right)}$

중첩근호와 일반식

무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {5}}+1} \over {2}}=\varphi }$ 황금비

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {9}}+1} \over {2}}=2}$

${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {13}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4+{\sqrt {4...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {17}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {21}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {25}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7+{\sqrt {7...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {29}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8+{\sqrt {8...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {33}}+1} \over {2}}}$

따라서 이것을 일반화하면,

${\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {((4\cdot n)+1)}}+1} \over {2}}}$

한편,

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$을 예약해보면

${\displaystyle {{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} \over {2a}}}$ (근의 공식)

${\displaystyle {{-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}} \over {2}}}$

${\displaystyle {{1\pm {\sqrt {1+4}}} \over {2}}}$

${\displaystyle {{1\pm {\sqrt {5}}} \over {2}}}$

이고, 따라서,

${\displaystyle {\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c...}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle ={{{\sqrt {((4\cdot c)+1)}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle x^{2}-x-c=0}$이다.

루트와 중첩근호

${\displaystyle {\sqrt {1}}={\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1{\sqrt[{3}]{1\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{2\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {3}}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots }$

${\displaystyle {\sqrt {7}}={\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7{\sqrt[{3}]{7\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8{\sqrt[{3}]{8\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots }$

따라서 이것을 일반화 하면,

${\displaystyle {\sqrt {x}}={\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x\dots }}}}}}}}}$

그리고 이것을 확장하면,^[2]

${\displaystyle x^{{1} \over {(n-1)}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}}}}$

자연수와 중첩근호

${\displaystyle 2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 3={\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 4={\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots }$

${\displaystyle 8={\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+{\sqrt {56+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \vdots }$

따라서, 이것을 일반화하면,

${\displaystyle x={\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+{\sqrt {(x\cdot (x-1))+\dots }}}}}}}}\qquad (x>1,x=integer)}$

${\displaystyle x={\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+{\sqrt {(x^{2}-x)+\dots }}}}}}}}}$

한편, 이것을 일반식으로 표현하면,

${\displaystyle \left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)}$에서 ${\displaystyle x}$ 이고,

${\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n...}}}}}}}}}}={{{\sqrt {((4\cdot n)+1)}}+1} \over {2}}}$이므로,

${\displaystyle x={\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)+{\sqrt {\left({x}\right)^{2}-\left({x}\right)...}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle ={{{\sqrt {\left(\left(4\cdot \left({x}^{2}-{x}\right)\right)+1\right)}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle ={{{\sqrt {4x^{2}-4x+1}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle ={{{\sqrt {(2x-1)^{2}}}+1} \over {2}}}$

${\displaystyle ={{(2x-1)+1} \over {2}}=x}$이다.

라마누잔의 중첩근호 공식[3]

${\displaystyle {x+n+a}={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+1n)+(n+a)^{2}+(x+1n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {a(x+3n)+(n+a)^{2}+(x+3n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle a=0,n=1}$일때,

${\displaystyle x+1={\sqrt {1+x{\sqrt {1+(x+1){\sqrt {1+(x+2){\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$

${\displaystyle 3=2+1={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5{\sqrt {1+6{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}}}}$

같이 보기

• 제곱근의 연산

참고

• 매스월드
• (Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
• (Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.