다항식의 나머지 정리

이 글의 주제는 중국인의 나머지 정리가 아닙니다.

이 글의 주제는 베주 정리가 아닙니다.

대수학에서 (다항식) 나머지 정리((多項式)-定理, 영어: (polynomial) remainder theorem) 또는 베주의 소정리(영어: Little Bézout's theorem, 프랑스의 수학자인 에티엔 베주에서 이름을 따옴)^[1]는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 ${\displaystyle f(x)}$를 1차 다항식 ${\displaystyle x-a}$로 나눈 나머지가 ${\displaystyle f(a)}$라고 말한다.

나눗셈 정리의 따름정리이며 인수 정리를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 ${\displaystyle x-a}$는 ${\displaystyle f(a)=0}$인 경우에만 ${\displaystyle f(x)}$의 약수이다.^[2] 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해 할 수 있다.^[3]

정의

 나눗셈 정리 § 나머지 정리 문서를 참고하십시오.

가환환 ${\displaystyle R}$ 및 다항식 ${\displaystyle f\in R[x]}$ 및 ${\displaystyle a\in R}$가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 ${\displaystyle f(x)}$를 다항식 ${\displaystyle x-a}$로 나눈 나머지는 ${\displaystyle f(a)}$이다.

더 일반적으로, 환 ${\displaystyle R}$ 및 다항식 ${\displaystyle f\in R[x]}$ 및 환의 중심의 원소 ${\displaystyle a\in \operatorname {Z} (R)}$가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 ${\displaystyle f(x)}$를 다항식 ${\displaystyle x-a}$로 나눈 나머지는 ${\displaystyle f(a)}$이다.

증명

나눗셈 정리를 통한 증명:

${\displaystyle x-a}$가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 ${\displaystyle q\in R[x]}$ 및 나머지 ${\displaystyle r\in R}$가 유일하게 존재한다.

${\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r}$

나머지 ${\displaystyle r}$가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 ${\displaystyle r=0}$이거나

${\displaystyle \deg r<\deg(x-a)=1}$

이어야 하기 때문이다. 따라서

${\displaystyle f(a)=(a-a)q(a)+r=0q(a)+r=r}$

이다.

테일러 전개를 통한 증명:

다음 등식을 ${\displaystyle R[x]}$ 위에서 보일 수 있다.

${\displaystyle f(x)=f(x-a+a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(\max\{\deg f,0\})}(a)}{n!}}(x-a)^{\max\{\deg f,0\}}}$

여기서

${\displaystyle {\frac {f^{(i)}(x)}{i!}}=\sum _{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}{\binom {k}{i}}a_{k}x^{k-i}\in R[x]}$

는 ${\displaystyle R}$의 표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle x-a}$로 나눈 나머지는 ${\displaystyle f(a)}$이다.

인수 분해를 통한 증명:

${\displaystyle f(x)-f(a)}$가 ${\displaystyle x-a}$의 배수임을 보이면 된다. ${\displaystyle f(x)-f(a)}$는

${\displaystyle x^{i}-a^{i}=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots +xa^{i-2}+a^{i-1})}$

꼴의 다항식들의 ${\displaystyle R}$-선형 결합이므로 ${\displaystyle x-a}$의 배수가 맞다.

예

다항식 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$에서 ${\displaystyle x-3}$으로 나눈 몫과 나머지는 각각 ${\displaystyle x^{2}-9x-27}$과 ${\displaystyle -123}$이다. 따라서 ${\displaystyle f(3)=-123}$이다.

응용

나머지 정리에 따라, ${\displaystyle f(a)}$는 ${\displaystyle f(x)}$를 ${\displaystyle x-a}$로 나누는 조립제법을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다.

인수 정리는 나머지 정리에서 ${\displaystyle f(a)=0}$인 특수한 경우이다.