이항 정리와 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 우선,
의 경우는 자명하게 성립하며,
의 경우는 이항 정리에 따라 성립한다.



이제,
에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- !}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{\ell }\\&=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},\ell \in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+\ell =n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!\ell !}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m},k_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k_{m}+k_{m+1}=\ell }{\frac {\ell !}{k_{m}!k_{m+1}!}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}\\&=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m+1}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m+1}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m+1}^{k_{m+1}}\end{aligned}}}

즉,
에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의
에 대하여 다항 정리가 성립한다.