단순 확대

체론에서 단순 확대(單純擴大, 영어: simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.

정의

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle L=K(\alpha )}$가 되는 ${\displaystyle \alpha \in L}$이 존재한다면, ${\displaystyle L/K}$를 단순 확대라고 하고, ${\displaystyle \alpha }$를 원시 원소(原始元素, 영어: primitive element)라고 한다.

만약 ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle K}$-초월 원소라면, ${\displaystyle K(\alpha )\cong K(x)}$는 ${\displaystyle K}$의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle K}$-대수적 원소라면, ${\displaystyle K}$의 다항식환의 어떤 몫환

${\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))}$

${\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p}$

과 동형이다. 여기서 ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle \alpha }$의 ${\displaystyle K}$-최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, ${\displaystyle (p(x))}$는 극대 아이디얼이며, ${\displaystyle K[x]/(p(x))}$는 체를 이룬다.

성질

유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, 영어: primitive element theorem)에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle L/K}$는 단순 확대이다.
• ${\displaystyle L/K}$ 사이에, ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$이 되는 체 ${\displaystyle M}$의 수는 유한하다.

증명:

${\displaystyle L/K}$ 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 ${\displaystyle K}$가 유한체라면, ${\displaystyle L}$ 역시 유한체이며, 곱셈군 ${\displaystyle L^{\times }=L\setminus \{0\}}$은 순환군이다. 임의의 생성원 ${\displaystyle \alpha }$가 주어졌을 때, ${\displaystyle L=K(\alpha )}$이다. 이제, ${\displaystyle K}$가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in L}$에 대하여,

${\displaystyle K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c'\beta )}$

${\displaystyle c\neq c'}$

인 ${\displaystyle c,c'\in K}$가 존재한다.

${\displaystyle \beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c'\beta ))/(c-c')\in K(\alpha +c\beta )}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )}$

이므로, ${\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )}$이다. 수학적 귀납법에 따라, ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$이라고 하였을 때,

${\displaystyle L=K(\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}+\cdots +c_{n}\alpha _{n})}$

인 ${\displaystyle c_{2},\dots ,c_{n}\in K}$가 존재한다. 즉, ${\displaystyle L/K}$는 단순 확대이다.

반대로, ${\displaystyle L=K(\alpha )}$가 ${\displaystyle K}$의 단순 확대라고 가정하자. ${\displaystyle L/K}$ 사이의 임의의 체 ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$에 대하여, ${\displaystyle p_{M}\in M[x]}$가 ${\displaystyle \alpha }$의 ${\displaystyle M}$-최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p_{M}(x)}$는 ${\displaystyle p_{K}(x)}$의 약수이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 ${\displaystyle M\mapsto p_{M}}$이 단사 함수임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여, ${\displaystyle S_{p}}$가 ${\displaystyle p(x)}$의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p\in K(S_{p})[x]}$이다. 임의의 체 ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$에 대하여, ${\displaystyle p_{M}(x)}$는 ${\displaystyle M}$-기약 다항식이며, ${\displaystyle K(S)\subseteq M}$이므로, ${\displaystyle p_{M}(x)}$는 ${\displaystyle K(S_{p_{M}})}$-기약 다항식이다. 즉, ${\displaystyle p_{M}}$은 ${\displaystyle \alpha }$의 ${\displaystyle K(S_{p_{M}})}$-최소 다항식이기도 하다. 따라서,

${\displaystyle [L:K(S_{p_{M}})]=[K(S_{p_{M}})(\alpha ):K(S_{p_{M}})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]}$

${\displaystyle [K(S_{p_{M}}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M}})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]}$

이다. ${\displaystyle M/K}$는 유한 확대이며, ${\displaystyle K(S_{p_{M}})\subseteq M}$이므로, ${\displaystyle M=K(S_{p_{M}})}$이다. 만약 ${\displaystyle K\subseteq M,M'\subseteq L}$이며 ${\displaystyle p_{M}=p_{M'}}$이라면, ${\displaystyle M=K(S_{p_{M}})=K(S_{p_{M'}})=M'}$이다. 즉, ${\displaystyle M\mapsto p_{M}}$은 단사 함수가 맞다.

또한, 만약 ${\displaystyle L/K}$가 유한 분해 가능 확대라면, ${\displaystyle L/K}$는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약 ${\displaystyle L/K}$가 유한 분해 가능 확대이며, ${\displaystyle M/L}$이 대수적 단순 확대라면, ${\displaystyle M/K}$는 단순 확대이다.

증명 (갈루아 이론을 통한 증명):

유한 분해 가능 확대가 단순 확대라는 사실은 원시 원소 정리와 갈루아 이론을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 원시 원소 정리에 따라, ${\displaystyle L/K}$ 사이의 체의 수가 유한함을 보이면 충분하다. ${\displaystyle M/L}$이 ${\displaystyle L/K}$의 정규 폐포라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M/K}$는 유한 갈루아 확대를 이룬다. ${\displaystyle L/K}$ 사이의 체들은 ${\displaystyle M/K}$ 사이의 체들이며, ${\displaystyle M/K}$ 사이의 체들은 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (M/K)}$의 부분군과 일대일 대응하며,

${\displaystyle |{\operatorname {Gal} (M/K)}|=[M:K]<\aleph _{0}}$

이므로, ${\displaystyle L/K}$ 사이의 체들의 수는 유한하다.

증명 (직접적 증명):

유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 ${\displaystyle K}$가 유한체라면, ${\displaystyle M}$ 역시 유한체이며, 곱셈군 ${\displaystyle M^{\times }}$은 순환군이다. 순환군 ${\displaystyle M^{\times }}$의 임의의 생성원은 원시 원소이다.

이제, ${\displaystyle K}$가 무한체라고 가정하자. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 분해 가능 확대 ${\displaystyle K(\alpha )/K}$ 및 대수적 확대 ${\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K(\alpha )}$에 대하여, ${\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K}$의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해, ${\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta }$가 원시 원소가 아닌 ${\displaystyle c\in K}$의 수가 유한함을 보이면 충분하다.

${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta }$

${\displaystyle K(\gamma )\subsetneq K(\alpha ,\beta )}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \alpha \not \in K(\gamma )}$이다. (만약 ${\displaystyle \alpha \in K(\gamma )}$라면, ${\displaystyle \beta =\gamma -c\alpha \in K(\gamma )}$이므로 ${\displaystyle K(\gamma )=K(\alpha ,\beta )}$이다.) 이제, ${\displaystyle p,q\in K[x]}$가 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$의 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle K(\alpha )/K}$가 분해 가능 확대이므로 ${\displaystyle p(x)}$는 중근을 갖지 않는다. 또한, ${\displaystyle \alpha }$는 두 다항식

${\displaystyle p(x),q(\gamma -cx)\in K(\gamma )[x]}$

의 공통의 근이다. 만약 ${\displaystyle \alpha }$가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 최대 공약수는 ${\displaystyle x-\alpha }$이다. 유클리드 호제법에 따라,

${\displaystyle x-\alpha =u(x)p(x)+v(x)q(\gamma -cx)}$

인 ${\displaystyle u,v\in K(\gamma )[x]}$이 존재하며, 특히 ${\displaystyle \alpha \in K(\gamma )}$이다. 이는 모순이다. 즉,

${\displaystyle p(\alpha ')=0}$

${\displaystyle q(\gamma -c\alpha ')=0}$

인 ${\displaystyle \alpha '\neq \alpha }$가 (어떤 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 속에) 존재한다.

${\displaystyle \gamma -c\alpha '=\beta '}$

라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle c=(\beta '-\beta )/(\alpha -\alpha ')}$

이며, ${\displaystyle \alpha '}$은 ${\displaystyle p}$의 근이며, ${\displaystyle \beta '}$은 ${\displaystyle q}$의 근이다. ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는 ${\displaystyle c}$의 수 역시 유한하다.

예

단순 유한 확대

${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$는 단순 확대이며, 원시 원소는 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$이다. 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} }$ 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$이다.

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$으로 적자. 그렇다면 ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}}$은 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 위에서 선형 독립이며, 이를 ${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}}$ 기저로 전개할 수 있다. 따라서 ${\displaystyle \alpha }$는 원시 원소이다.

단순 무한 확대

체 ${\displaystyle K}$의 유리 함수체 ${\displaystyle K(x)}$는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

단순하지 않은 유한 확대

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)}$의 확대

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}$

를 생각하자. 이는 차수 ${\displaystyle p^{2}}$의 유한 확대이다.

임의의 ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}$에 대하여, ${\displaystyle a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)}$이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 ${\displaystyle p}$ 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

외부 링크

• “Finite extension of fields with no primitive element”. 《Math Overflow》 (영어).