단위 원판

수학에서, 단위 원판(영어: unit disk 또는 disc)는 반지름이 1인 원판이다.

위에서부터 순서대로 유클리드 거리, 맨해튼 거리, 체비쇼프 거리에서의 단위 원판. 일반적으로 단위 원판이라 하면 제일 위의 유클리드 거리에서의 원판을 의미한다.

닫힌 원판은 ${\displaystyle \mathbb {D} ,D^{2}}$ 또는 ${\displaystyle {\overline {D^{2}}}}$ 등으로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbb {D} =\{x\in \mathbb {R} ^{2}:||x||\leq 1\}}$

열린 원판은 ${\displaystyle {\text{int}}\ \mathbb {D} ,{\text{int}}\ D^{2}}$ 등으로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\text{int}}\ \mathbb {D} =\{x\in \mathbb {R} ^{2}:||x||<1\}}$

일반적으로 단위 원판이라 하면 닫힌 원판을 가리킨다. 단위 원판은 단위구의 2차원에 해당하는 예시이다.

평면 위에 주어진 점 ${\displaystyle P}$로부터 거리가 1 이내인 닫힌 원판과 열린 원판은 각각 ${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)}$과 ${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)}$으로 나타내며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}}$

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:|P-Q|<1\}}$

복소 평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$에서 단위 원판은 다음과 같은 집합을 의미한다.

${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|\leq 1\}}

여기서 복소수 ${\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {C} }$의 절댓값은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

같이 보기

• 단위원
• 단위구