닫힌 그래프 정리

일반위상수학에서 닫힌 그래프 정리(닫힌graph定理, 영어: closed graph theorem)는 하우스도르프 공간으로 가는 연속 함수의 그래프가 닫힌집합이라는 정리다.

정의

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 그래프는

${\displaystyle \operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y}$

이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 하우스도르프 공간 ${\displaystyle Y}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {graph} f\subseteq X\times Y}$는 닫힌 집합이다.^{[1]:50, Proposition 2.14}

증명:

${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 연속 함수라고 하자. 임의의 점

${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\setminus \operatorname {graph} f}$

이 ${\displaystyle X\times Y\setminus \operatorname {graph} f}$에 포함되는 근방을 갖는다는 것을 보이면 족하다. 정의에 따라, ${\displaystyle f(x)\neq y}$이다. ${\displaystyle Y}$가 하우스도르프 공간이므로, ${\displaystyle T(x)}$ 및 ${\displaystyle y}$를 포함하는 서로소 열린 근방 ${\displaystyle U\ni f(x)}$, ${\displaystyle V\ni y}$가 존재한다. ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로, ${\displaystyle f^{-1}(U)\times V\subseteq X\times Y\setminus \operatorname {graph} f}$는 ${\displaystyle (x,y)}$를 포함하는 근방이다.

함수해석학에서는 바나흐 공간에 대하여 적용되는 더 강한 형태의 닫힌 그래프 정리가 존재한다. 이는 바나흐-샤우데르 정리의 따름정리이다.