닫힌 원순서 집합

순서론에서 닫힌 원순서 집합(-原順序集合, 영어: closed preordered set)이란 모든 사슬이 상계를 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 정렬 사슬은 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다. ${\displaystyle X}$의 정렬 사슬들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {woChain} (X)}$로 표기하자.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 닫힌 원순서 집합(영어: closed proset)이라고 한다.

임의의 사슬 ${\displaystyle C\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle C}$가 정렬 전순서 집합이라면, ${\displaystyle C}$는 상계 ${\displaystyle x\in X}$를 갖는다.

사실, 모든 전순서 집합은 공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수 ${\displaystyle \lambda \in \operatorname {Ord} }$에 대하여, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle \lambda }$-닫힌 원순서 집합(영어: ${\displaystyle \lambda }$-closed proset)이라고 한다.^{[1]:214, Definition VII.6.12}

임의의 사슬 ${\displaystyle C\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle C}$가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이 ${\displaystyle \lambda }$ 미만이라면, ${\displaystyle C}$는 상계 ${\displaystyle x\in X}$를 갖는다.

만약 ${\displaystyle \lambda >|X|}$라면, ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle \lambda }$-닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

성질

초른 보조정리

 이 부분의 본문은 초른 보조정리입니다.

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여, ${\displaystyle X=\downarrow \max X}$이다. 여기서 ${\displaystyle \downarrow }$는 하폐포이며, ${\displaystyle \max X}$는 ${\displaystyle X}$의 극대 원소들의 집합이다.

부르바키-비트 정리

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x}$

부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, 영어: Bourbaki–Witt theorem)에 따르면, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \uparrow x}$에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

${\displaystyle \exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x}$

초른의 보조 정리를 통한 증명:

임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 ${\displaystyle m\in \uparrow x\cap \max X}$을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 ${\displaystyle f(m)\sim m\gtrsim x}$이다.

직접적인 증명:

${\displaystyle x\in X}$가 주어졌다고 하자. 함수

${\displaystyle g\colon \operatorname {woChain} (X)\to X}$

가, ${\displaystyle X}$ 속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 (${\displaystyle g(\varnothing )=x}$).

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle X}$가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 ${\displaystyle y\gtrsim x}$에 대하여 ${\displaystyle f(y)\gtrsim y\not \gtrsim f(y)}$라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

${\displaystyle x_{\alpha }={\begin{cases}f(x_{\beta })&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\g(\{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \})&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}$

귀류법 가정 아래 ${\displaystyle \{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \}}$는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 ${\displaystyle x_{\bullet }\colon \operatorname {Ord} \to X}$를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$은 집합이 될 수 없으므로, ${\displaystyle x_{\alpha +1}\sim f(x_{\alpha })\sim x_{\alpha }}$인 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

강제법

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$
• 두 집합 ${\displaystyle X,Y\in M}$
• ${\displaystyle \lambda \in \operatorname {Card} ^{M}}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Card} ^{M}\subseteq \operatorname {Ord} \cap M}$는 ${\displaystyle M}$에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다.
• 원순서 집합 ${\displaystyle P\in M}$
• ${\displaystyle P}$의 부분 집합 ${\displaystyle G\subseteq M}$

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

• ${\displaystyle M\models (|X|<\lambda )}$
• ${\displaystyle M\models (}$${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle \lambda }$-닫힌 원순서 집합이다${\displaystyle )}$
• ${\displaystyle M\models (}$${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle P}$의 포괄적 순서 아이디얼이다${\displaystyle )}$

그렇다면, ${\displaystyle X\to Y}$ 함수들은 ${\displaystyle M}$과 강제법 모형 ${\displaystyle M[G]}$ 사이에서 절대적이다. 즉, ${\displaystyle M[G]}$ 속의 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 이미 ${\displaystyle M}$의 원소이다.^{[1]:214, Theorem 2.6.14}

${\displaystyle (Y^{X})^{M[G]}=(Y^{X})^{M}}$

특히, 이와 같은 경우 ${\displaystyle M}$ 속의, ${\displaystyle \lambda }$ 이하의 공종도 및 ${\displaystyle \lambda }$ 이하의 기수들이 보존된다.^{[1]:215, Corollary 2.6.15}

역사

부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키^[2]와 에른스트 비트^[3]가 증명하였다.