원판

원판(영어: disk 또는 disc)^[1]은 원의 내부를 포함하는 평면도형이다. 경계인 원을 포함하면 닫힌 원판(영어: closed disk), 포함하지 않으면 열린 원판(영어: open disk)이라 한다.^[2]

원판은 원의 내부를 포함하는 도형이다.

  원판의 둘레 C

  원판의 지름 D

  원판의 반지름 R

  원판의 중심 O

일반적으로 반지름이 r인 열린 원판을 ${\displaystyle D_{r}}$로, 닫힌 원판을 ${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$로 표기한다. 한편 위상수학에서는 반지름이 1인 닫힌 단위 원판(영어: unit disk)을 ${\displaystyle D^{2}}$로, 열린 단위 원판을 ${\displaystyle {\text{int}}D^{2}}$로 표기한다.

반지름이 ${\displaystyle r}$인 원판의 면적은 ${\displaystyle \pi r^{2}}$이다. 2차원인 원판을 임의의 차원으로 일반화한 것이 공이다.

데카르트 좌표계에서, 중심이 ${\displaystyle (a,b)}$이고 반지름이 ${\displaystyle r}$인 열린 원판은 다음과 같은 식으로 표현된다. $${\displaystyle D_{r}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2}\}}$$ 닫힌 원판은 다음과 같이 표현된다. $${\displaystyle {\overline {D_{r}}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq r^{2}\}}$$

성질

닫힌 원판과 열린 원판은 위상적으로 동일하지 않다. 즉, 서로 위상동형이 아니다. 둘은 위상적 성질이 서로 다르며, 예를 들어 닫힌 원판은 콤팩트 공간이지만 열린 원판은 아니다.^[3] 반면 대수적 위상수학의 관점에서는 여러 성질을 공유하는데, 예를 들어 두 공간은 모두 축약 가능 공간이고^[4] 따라서 둘 다 한 점과 호모토피 동치이다. 즉 두 공간의 기본군은 자명군이며, 호몰로지 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형인 0번째 호몰로지 군을 제외하고 모두 자명군이다. 그리고 원판의 오일러 지표는 1이다.

닫힌 원판에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 1개 이상의 고정점을 가진다. 이는 브라우어르 고정점 정리에서 ${\displaystyle n=2}$에 해당하는 경우이다.^[5] 반면 열린 원판일 때는 고정점이 존재하지 않을 수 있다.^[6] 예를 들어 함수 ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$는 열린 원판의 모든 점을 다른 점으로 사상하지만, 닫힌 원판에서는 반원 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0}$을 고정시킨다.