달랑베르의 원리

달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)는 프랑스의 물리학자이자 수학자인 달랑베르가 발견한 고전역학의 원리로, 고전적인 물체의 운동을 기술하는 기초적인 원리이다.

달랑베르

달랑베르의 원리와 구속력

달랑베르는 구속력의 특성에 대해서 다음을 알아내었다.

구속력 혹은 반작용 힘의 가상 변위에 대한 일의 양은 0이다.^[1]

예를 들어 평면 위에서 움직이는 입자를 생각해보자. 입자는 항상 평면 위에서 움직이지만 이를 구속하기 위한 힘은 항상 평면에 수직하게 된다. 따라서, 입자는 평면과 평행하게 움직이지만, 구속력은 평면에 수직하게 작용함을 의미한다. 따라서 구속력은 입자의 운동방향에 수직이 되고 일어나는 운동에 대해선 전혀 일을 해주지 않는다.

수학적 서술

달랑베르의 원리를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{N}(F_{i}-{\dot {p_{i}}})\delta x_{i}=0}$

여기서

i : 계를 기술하는 좌표를 나타내는 지표

F_i : 외부 힘의 i번째 성분

p_i : 운동량의 i번째 성분

δx_i : 가상 변위의 i번째 성분

δW : 구속력이 한 일

N : 계의 입자 수

이다. 벡터를 사용해 나타내면,

${\displaystyle \delta W=\sum _{n=1}^{N}(\mathbf {F} _{n}-{\dot {\mathbf {p} _{n}}})\cdot \delta \mathbf {x} _{n}=0}$

이 된다. 여기서

n : 입자를 나타내는 지표

F_n : n번째 입자의 외부 힘

p_n : n번째 입자의 운동량

δx_n : n번째 가상 변위

δW : 구속력이 한 일

N : 계의 입자 수

이다.

유도 : 달랑베르 원리의 수식화[2]

N개의 입자로 이루어진 동역학계의 운동법칙을 뉴턴법칙을 사용하여 나타내면 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} _{n}}}=\mathbf {F} _{n}+\mathbf {C} _{n}}$ 이다. 여기서 Cn : n번째 입자의 구속력 이다. 여기에 가상변위 δx로 내적을 취해주면 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\dot {\mathbf {p} _{n}}}\cdot \delta \mathbf {x} _{n}=\sum _{n=1}^{N}(\mathbf {F} _{n}+\mathbf {C} _{n})\cdot \delta \mathbf {x} _{n}}$ 을 얻고, 위 식을 한변으로 모으면, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(\mathbf {F} _{n}+\mathbf {C} _{n}-{\dot {\mathbf {p} _{n}}})\cdot \delta \mathbf {x} _{n}=0}$ 을 얻는다. 여기에 구속력이 한 일은 0이라는 달랑베르의 원리 ${\displaystyle \delta W=\sum _{n=1}^{N}\mathbf {C} _{n}\cdot \delta \mathbf {x} _{n}=0}$ 를 적용하면 위 식과 동등한 달랑베르의 원리의 수식화된 기술을 얻는다. ${\displaystyle \delta W=\sum _{n=1}^{N}(\mathbf {F} _{n}-{\dot {\mathbf {p} _{n}}})\cdot \delta \mathbf {x} _{n}=0}$