대칭차

집합론에서, 두 집합의 대칭차(對稱差, 영어: symmetric difference) 또는 대칭차집합(對稱差集合)은 둘 중 한 집합에는 속하지만 둘 모두에는 속하지는 않는 원소들의 집합이다. 명제의 배타적 논리합과 유사하다. 집합 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$의 대칭차는 보통 ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$로 표기한다.

벤 다이어그램으로 표현한 대칭차 ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$

정의

두 집합 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$의 대칭차는 다음과 같다.^{[1]:21, §1.3}

${\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

여기서 ${\displaystyle A\cup B}$는 합집합, ${\displaystyle A\cap B}$는 교집합, ${\displaystyle A\setminus B}$와 ${\displaystyle B\setminus A}$는 차집합을 나타낸다. 다시 말해, 대칭차는 두 집합 가운데 정확히 하나에만 속하는 원소들의 집합이다.

성질

대칭차는 교환 법칙과 결합 법칙을 만족시킨다.

${\displaystyle A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A}$

${\displaystyle (A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C)}$

예

두 집합

${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle B=\{2,3,4,5\}}$

의 대칭차는

${\displaystyle A\bigtriangleup B=\{1,4,5\}}$

이다.

같이 보기

• 불 함수
• 여집합
• 배타적 논리합
• 퍼지 집합
• 교집합
• 자카드 지수
• 집합론
• 대칭
• 합집합
• 포함배제의 원리