가법 함수

수론에서 가법 함수(加法函數, 영어: additive function)는 로그 함수와 유사한 항등식을 만족시키는 수론적 함수이다.

정의

함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }$가 주어졌다고 하자.

• 만약 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}$일 경우에 ${\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n)}$이라면, ${\displaystyle f}$를 가법 함수라고 한다.^[1]:257
• 만약 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n)}$이라면, ${\displaystyle f}$를 완전 가법 함수라고 한다.

성질

만약 ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }$가 가법 함수라면, ${\displaystyle f(1)=0}$이다.^[1]:257

만약 ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }$가 가법 함수라면, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$의 소인수 분해가

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}$

라면, 다음이 성립한다.^[1]:258

${\displaystyle f(n)=\sum _{p}f(p^{n_{p}})}$

예

다음과 같은 함수들은 완전 가법 함수이다.

• 양의 정수로 제한된 로그 함수 ${\displaystyle n\mapsto \ln n}$
• 중복도를 고려한 소인수의 개수 ${\displaystyle n\mapsto \Omega (n)}$ (OEIS의 수열 A001222)
• 중복도를 고려한 소인수의 합 ${\displaystyle n\mapsto \operatorname {sopfr} (n)}$ (OEIS의 수열 A001414)

다음과 같은 함수들은 가법 함수이지만, 완전 가법 함수가 아니다.

• 서로 다른 소인수의 개수 ${\displaystyle n\mapsto \omega (n)}$ (OEIS의 수열 A001221)
• 서로 다른 소인수의 합 ${\displaystyle n\mapsto \operatorname {sopf} (n)}$ (OEIS의 수열 A008472)

같이 보기

• 곱셈적 함수