데데킨트 에타 함수

수학에서 데데킨트 에타 함수(Dedekind eta function)은 복소평면의 열린 상반평면 위에 정의된, 원환면의 모듈러 군 대칭을 따르는 정칙함수다. 리하르트 데데킨트의 이름을 땄다. 기호는 그리스 소문자 에타${\displaystyle \;\;\eta (\tau )}$

데데킨트 에타 함수의 그래프

정의

열린 상반평면을 ${\displaystyle \mathbb {H} }$라고 쓰자. 데데킨트 에타 함수 ${\displaystyle \eta \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$는 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle \eta (\tau )=\exp(\pi i\tau /12)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\exp(2n\pi i\tau )\right)}$.

보통 ${\displaystyle q(\tau )=\exp(2\pi i\tau )}$를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.

${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$.

성질

데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나, 복소 평면 전체로 해석적 연속할 수 없다.

함수 방정식

데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 모듈러 형식이다. 즉, 모듈러 군 ${\displaystyle \Gamma _{0}(1)}$에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.^[1]

${\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp(\pi i/12)\eta (\tau )}$

${\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )}$.

보다 일반적으로, 임의의 뫼비우스 변환

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$ (${\displaystyle ad-bc=1}$, ${\displaystyle c\geq 0}$)

에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau )}$.

여기서

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp(i\pi b/12)}$ (${\displaystyle c=0,d=1}$인 경우)

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \left(i\pi \left((a+d)/(12c)-s(d,c)-1/4\right)\right)}$ (${\displaystyle c>0}$인 경우)

여기서

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}$

를 데데킨트 합(Dedekind sum)이라고 한다.

특별한 값

함수 방정식 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.

${\displaystyle \eta (i)={\frac {\Gamma (1/4)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (i/2)={\frac {\Gamma (1/4)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma (1/4)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (4i)={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\Gamma (1/4)}{2^{{29}/16}\pi ^{3/4}}}}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma (1/4)\approx 3.626}$는 감마 함수이다.

같이 보기

• 데데킨트 제타 함수