동일률

논리학에서 동일률(law of identity)은 모든 것이 자기 자신과 동일하다는 원칙이다. 이는 비모순율 및 배중률과 함께 전통적인 세 가지 사고의 법칙 중 첫 번째이다. 그러나 이 법칙들만으로 구축된 논리 체계는 거의 없다.

역사

고대 철학

이 법칙이 기록된 가장 초기의 사용은 플라톤의 대화편 테아이테토스 (185a)에 나타나는데, 여기서 소크라테스는 우리가 "소리"와 "색깔"이라고 부르는 것이 두 가지 다른 종류의 사물임을 입증하려 한다.

소크라테스: 소리와 색깔에 관해서, 우선 이 둘에 대해 다음과 같이 생각하는가? 둘 다 존재한다고?
테아이테토스: 네.
소크라테스: 그렇다면 각각이 서로 다르고 자기 자신과는 같다고 생각하는가?
테아이테토스: 물론입니다.
소크라테스: 그리고 둘 다 둘이고 각각은 하나라고?
테아이테토스: 네, 그것도 그렇습니다.

이것은 아리스토텔레스에서 단 한 번 명시적으로 사용되는데, 분석론 전서의 한 증명에서이다.^[1][2]

A가 B 전체와 C에 속하고 다른 어떤 것에도 긍정되지 않으며, B도 모든 C에 속할 때, A와 B는 가환적이어야 한다. 왜냐하면 A가 B와 C에만 속한다고 말해지고, B는 자기 자신과 C 둘 다에 긍정되기 때문에, B가 A라고 말해지는 모든 것에 속할 것이 분명하기 때문이다. 단, A 자신은 제외한다.

— Aristotle, 분석론 전서, 제2권, 제22장, 68a

중세 철학

아리스토텔레스는 비모순율이 가장 근본적인 법칙이라고 믿었다. 토마스 아퀴나스 (형이상학 IV, lect. 6)와 둔스 스코투스 (형이상학 IV, Q. 3에 대한 질문) 둘 다 이 점에서 아리스토텔레스를 따랐다. 스코투스의 스페인 제자 안토니우스 안드레아스(Antonius Andreas, 1320년 사망)는 "모든 존재는 존재이다"(Omne Ens est Ens, 형이상학 IV, Q. 4에 대한 질문)라는 법칙이 첫 번째 자리를 차지해야 한다고 주장했지만, 후기 스콜라 철학자 프란시스코 수아레스 (형이상학 대론 III, § 3)는 이에 동의하지 않고 아리스토텔레스를 따르는 것을 선호했다.

동일한 원리에 대한 또 다른 가능한 언급은 니콜라우스 쿠자누스 (1431년–1464년)의 저술에서 찾을 수 있는데, 그는 다음과 같이 말한다.

...정확히 똑같은 여러 사물은 있을 수 없다. 왜냐하면 그런 경우에 여러 사물이 아니라 바로 그 동일한 사물이 될 것이기 때문이다. 그러므로 모든 사물은 서로 동의하면서도 다르다.^[3]

근대 철학

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 그가 "모든 것은 그것이다"라고 표현한 동일률이 긍정적인 이성의 첫 번째 원초적 진리이며, 비모순율이 첫 번째 부정적인 진리라고 주장했다(Nouv. Ess. IV, 2, § i). 그는 "어떤 사물이 그것이라고 말하는 것이 그 사물이 다른 것이 아니라고 말하는 것보다 우선한다"고 주장했다(Nouv. Ess. IV, 7, § 9). 빌헬름 분트는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에게 "A는 A이다"라는 상징적인 표현을 부여했다.^[4] 라이프니츠의 법칙은 유사한 원리로, 두 대상이 모든 동일한 속성을 가진다면 실제로는 하나이며 동일하다는 것이다: x=y이면 Fx와 Fy.

존 로크 (인간 오성론 IV. vii. iv. ("공리론")에서 다음과 같이 말한다.

[...] 정신이 어떤 명제를 주의 깊게 고찰하여 항으로 표시된 두 개념을 지각하고, 그 개념들이 서로 동일하거나 다르다고 긍정되거나 부정될 때마다, 즉시 그리고 확실하게 그러한 명제의 진리를 확신하게 된다. 그리고 이러한 확신은 이 명제들이 더 일반적인 개념들을 나타내는 항으로 되어 있든, 덜 일반적인 개념들을 나타내는 항으로 되어 있든 마찬가지이다. 예를 들어, 존재의 일반적인 개념이 그 자체로 긍정될 때, "존재하는 것은 무엇이든 존재한다"와 같이, 또는 더 특정한 개념이 그 자체로 긍정될 때, "사람은 사람이다" 또는 "하얀 것은 무엇이든 하얗다"와 같이 [...]

아프리칸 슈피르는 동일률을 지식의 근본 법칙으로 선언하며, 이는 경험적 현실의 변화하는 모습에 반대된다.^[5]

조지 불은 그의 저서 사고의 법칙 서문에서 언어의 본질과, 언어가 이해 가능하려면 그 안에 자연스럽게 내재되어야 하는 원칙들에 관해 다음과 같은 관찰을 했다.

실제로, 언어의 본성 자체에 근거한 특정 일반 원칙들이 존재하며, 이것들에 의해 과학적 언어의 요소에 불과한 기호의 사용이 결정된다. 어느 정도까지 이 요소들은 임의적이다. 그 해석은 순전히 관례적이다: 우리는 원하는 어떤 의미로든 그것들을 사용할 수 있다. 그러나 이 허용은 두 가지 필수적인 조건에 의해 제한된다. 첫째, 일단 관례적으로 확립된 의미에서 우리는 동일한 추론 과정에서 결코 벗어나지 않는다. 둘째, 그 과정이 수행되는 법칙들은 사용된 기호의 위에서 언급된 고정된 의미나 뜻에 전적으로 기반해야 한다.

소설가 아인 랜드가 창시한 철학인 객관주의는 세 가지 공리에 기반을 두고 있으며, 그중 하나가 동일률인 "A는 A이다"이다. 아인 랜드의 객관주의에서 동일률은 존재 개념과 함께 사용되어 존재하는 것은 무엇인가라는 것을 추론한다.^[6] 객관주의 인식론에서 논리학은 동일률에 기반을 둔다.^[7]

현대 철학

분석 철학

산술의 기초에서 고틀로프 프레게는 숫자 1을 자기 동일성이라는 속성과 연결했다. 프레게의 논문 "의미와 지칭에 대하여"는 등식과 의미에 대한 논의로 시작한다. 프레게는 용어의 의미가 그것의 지시 대상이라면, 동일률의 사소한 사례인 "a = a" 형태의 참된 진술이 진정한 지식의 확장인 "a = b" 형태의 참된 진술과 어떻게 다를 수 있는지 궁금해했다.

버트런드 러셀은 "지시어에 대하여"에서 다음과 비슷한 수수께끼를 제시했다. "a가 b와 동일하다면, 하나에 대해 참인 것은 무엇이든 다른 것에도 참이며, 어떤 명제의 참 또는 거짓을 변경하지 않고도 하나를 다른 것으로 대체할 수 있다. 이제 조지 4세는 월터 스콧이 웨이벌리의 저자인지 알고 싶어했다. 그리고 사실 스콧은 웨이벌리의 저자였다. 그러므로 우리는 '웨이벌리의 저자' 대신 '스콧'을 대입하여 조지 4세가 스콧이 스콧인지 알고 싶어했다는 것을 증명할 수 있다. 그러나 유럽의 첫 신사에게 동일률에 대한 관심이 있었다고는 보기 어렵다."

루트비히 비트겐슈타인은 그의 "논리철학 논고"에서 "대략적으로 말하면: 두 사물이 동일하다고 말하는 것은 무의미하며, 한 사물이 자기 자신과 동일하다고 말하는 것은 아무것도 말하지 않는 것이다"라고 썼다.^[8]

분석 철학의 형식 논리학에서 동일률은 "a = a" 또는 "모든 x에 대해: x = x"로 쓰이며, 여기서 a 또는 x는 단칭항을 나타내지 명제를 나타내지 않으므로 동일률은 명제 논리에서는 사용되지 않는다. 이것은 등호 "="로 표현되는 것, 즉 동일성 또는 등가성의 개념이다.

대륙 철학

마르틴 하이데거는 1957년에 "Der Satz der Identität"(동일성 명제)라는 제목으로 강연했는데, 여기서 그는 동일률 "A=A"를 파르메니데스의 단편 "to gar auto estin noien te kai einai"(왜냐하면 생각할 수 있는 것과 존재할 수 있는 것은 같은 것이기 때문이다)와 연결했다. 따라서 하이데거는 사고와 존재의 관계, 그리고 사고와 존재의 상호 소속으로부터 동일성을 이해한다.

질 들뢰즈는 "차이와 반복"이 어떤 동일성 개념보다 우선한다고 썼다.

현대 논리학

1차 논리에서 동일성(또는 등가성)은 2항 술어 또는 관계 =로 표현된다. 동일성은 개체들에 대한 관계이다. 이것은 명제들 사이의 관계가 아니며, 명제의 의미나 애매모호함과는 관련이 없다. 동일률은 ${\displaystyle \forall x(x=x)}$로 표현될 수 있으며, 여기서 x는 모든 개체의 영역을 포괄하는 변수이다. 논리학에서는 동일성을 다루는 다양한 방법이 있다. 동일성을 포함하는 1차 논리에서는 동일성을 논리적 상수로 취급하고 그 공리는 논리 자체의 일부이다. 이 관례에 따르면 동일률은 논리적 진리이다.

동일성을 포함하지 않는 1차 논리에서는 동일성을 해석 가능한 술어로 취급하고 그 공리는 이론에 의해 제공된다. 이는 a와 b가 구별되는 개체임에도 불구하고 a = b가 만족될 수 있는 더 넓은 동치 관계를 허용한다. 이 관례에 따르면, 모델은 구별되는 개체 a와 b가 a = b를 만족하지 않을 때 정상이라고 한다.

이러한 방식으로 동일률을 제한하는 논리의 한 예는 슈뢰딩거 논리이다.

같이 보기

• 동일성 (철학)
• 항진식
• 정명 (논리학)