등각 벡터장

리만 기하학에서 등각 벡터장(等角vector場, 영어: conformal vector field)은 킬링 벡터장의 일반화이다.

정의

일반화 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 닮음 벡터장(영어: homothetic vector field) ${\displaystyle (X,\phi )}$는 다음을 만족시키는, 벡터장 ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$과 실수 ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$의 순서쌍이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=cg}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=cg_{\mu \nu }}$

만약 ${\displaystyle c=0}$인 경우는 ${\displaystyle X}$는 킬링 벡터장이므로, 닮음 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

등각 벡터장(영어: conformal vector field) ${\displaystyle (X,\phi )}$는 다음을 만족시키는, 벡터장 ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$과 스칼라장 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$의 순서쌍이다.^[1]:13

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\phi g}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=\phi g_{\mu \nu }}$

스칼라장 ${\displaystyle \phi }$는 등각 인자(等角因子, 영어: conformal factor)라고 불린다. 만약 ${\displaystyle \phi }$가 상수 함수인 경우는 ${\displaystyle X}$는 닮음 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

개념	킬링 벡터장	⇒	닮음 킬링 벡터장	⇒	등각 벡터장	⇒	벡터장
등각 킬링 인자가 …	0		상수 함수		임의의 스칼라 함수		(없음)

등각 인자의 조건

${\displaystyle d}$차원 일반화 리만 다양체에서 어떤 스칼라장 ${\displaystyle \phi }$가 등각 인자가 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.^[1]:14–15

${\displaystyle \left((d-2)\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }+g_{\mu \nu }g^{\rho \sigma }\nabla _{\rho }\nabla _{\sigma }\right)\phi =0}$

위 조건을 ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 인자들은 라플라스-벨트라미 연산자 ${\displaystyle g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$에 대한 조화 함수인 것을 알 수 있다. ${\displaystyle d=2}$인 경우, 이 조건은 필요 충분 조건이다. 즉, 등각 인자일 조건은 조화 함수인 조건과 동치이다.