등변 미분 형식

미분기하학에서 등변 미분 형식(等變微分形式, 영어: equivariant differential form)은 리 군의 작용과 호환되는, 하나의 리 대수 변수에 대한 미분 형식 계수의 다항식이다.^[1] 이를 사용하여, 드람 코호몰로지와 유사하게 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 리 군 ${\displaystyle G}$. 그 리 대수가 ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}}$라고 하자.
• ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 왼쪽 작용 ${\displaystyle (\cdot )\colon G\times M\to M}$.

그렇다면, ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle G}$-등변 미분 형식 ${\displaystyle \alpha }$는 다음 벡터 공간의 원소이다.

${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )=\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )}$

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 쌍대 공간이며, ${\displaystyle \Omega (M;\mathbb {C} )=\Omega (M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$은 ${\displaystyle M}$ 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상

${\displaystyle \alpha \colon {\mathfrak {g}}\to \Omega (M;\mathbb {C} )}$

으로 간주할 수 있는데, 이 경우 ${\displaystyle \alpha }$는 다음 조건을 만족해야 한다.^{[1]:208, §7.1}

${\displaystyle \alpha \left(\operatorname {Ad} (g)x\right)=g\cdot \alpha (x)\qquad \forall g\in G,\;x\in {\mathfrak {g}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)\colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$는 ${\displaystyle G}$의 딸림표현이다.

연산

등변 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \left(\operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )\right)^{G}}$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, 영어: equivariant exterior derivative)을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\alpha \colon x\mapsto \mathrm {d} (\alpha (x))-x^{\sharp }\lrcorner (\alpha (x))}$

여기서

• ${\displaystyle \mathrm {d} }$는 (일반) 외미분이다.
• ${\displaystyle \lrcorner }$는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
• ${\displaystyle x^{\sharp }\in \Gamma (M)}$는 ${\displaystyle G}$의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로)

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\circ \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}=0}$

을 만족시키며, 이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{G}^{\bullet }(X;\mathbb {C} )={\frac {\ker \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}{\operatorname {im} \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, 영어: equivariantly exact differential form) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, 영어: equivariantly closed differential form)을 정의할 수 있다.^{[1]:209, §7.1}

역사

등변 미분 형식의 개념은 앙리 카르탕이 도입하였다.^{[2]:§6, 6–9[1]:209, §7.1[3]:§2.4}