등각 켤레점

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, 영어: isogonal conjugate point)은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.

등각 켤레점

등각 켤레점을 취하는 변환

정의

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 한 꼭짓점 ${\displaystyle A}$ (또는 ${\displaystyle B}$ 또는 ${\displaystyle C}$)를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, 영어: isogonal (conjugate) line)은 그 직선을 내각 ${\displaystyle \angle A}$ (또는 ${\displaystyle \angle B}$ 또는 ${\displaystyle \angle C}$)의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 한 꼭짓점 ${\displaystyle A}$를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 ${\displaystyle AP}$와 ${\displaystyle AQ}$를 뜻한다.

• 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
• ${\displaystyle \angle PAB=\angle QAC}$ (즉, ${\displaystyle \angle PAC=\angle QAB}$)

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 같은 평면 위의 점 ${\displaystyle P}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$, ${\displaystyle CP}$의 등각 켤레선은 한 점 ${\displaystyle P'}$에서 만난다. 이 점을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.

증명:

AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,

${\displaystyle {\frac {sin\angle {BAD}}{sin\angle {CAD}}}*{\frac {sin\angle {CBE}}{sin\angle {ABE}}}*{\frac {sin\angle {ACF}}{sin\angle {BCF}}}=1}$

AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {sin\angle {CAD'}}{sin\angle {BAD'}}}*{\frac {sin\angle {ABE'}}{sin\angle {CBE'}}}*{\frac {sin\angle {BCF'}}{sin\angle {ACF'}}}=1}$

따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.

성질

삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 등각 켤레점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$이 주어졌다고 하자. 점 ${\displaystyle P}$를 삼각형의 각 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 반사시켜 얻는 점을 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle XYZ}$의 외심은 ${\displaystyle P'}$이다.

등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 등각 켤레점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$가 주어졌다고 하자. 점 ${\displaystyle P}$에서 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하고, 점 ${\displaystyle P'}$에서 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$은 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$의 중점 ${\displaystyle M}$을 중심으로 하는 원 위의 점이다.^{[1]:67, §7.4, (viii)}

증명:

대칭성에 따라 ${\displaystyle F'}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E'}$이 ${\displaystyle M}$을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 ${\displaystyle AP}$와 ${\displaystyle E'F'}$의 교점을 ${\displaystyle Q}$라고 하자. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle P'}$, ${\displaystyle F'}$은 한 원 위의 점이므로

${\displaystyle \angle F'AQ=\angle E'AP'=\angle E'F'P'}$

이다. 따라서 직선 ${\displaystyle AQ}$는 ${\displaystyle E'F'}$의 수선이며, 삼각형 ${\displaystyle AFP}$와 ${\displaystyle AQF'}$, 삼각형 ${\displaystyle AEP}$와 ${\displaystyle AQE'}$은 닮음이다. 따라서

${\displaystyle AF\cdot AF'=AP\cdot AQ=AE\cdot AE'}$

이며, 방멱의 성질에 따라 ${\displaystyle F'}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E'}$은 한 원 위의 점이다. ${\displaystyle M}$은 선분 ${\displaystyle PP'}$의 중점이며 직선 ${\displaystyle PF}$와 ${\displaystyle P'F'}$, 직선 ${\displaystyle PE}$와 ${\displaystyle P'E'}$은 평행하므로 ${\displaystyle M}$은 선분 ${\displaystyle FF'}$과 ${\displaystyle EE'}$의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, ${\displaystyle M}$은 네 점 ${\displaystyle F'}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E'}$을 지나는 원의 중심이다.

드로츠파르니 원

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 등각 켤레점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$가 주어졌다고 하자. 점 ${\displaystyle P}$를 지나는 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 수선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하고, 점 ${\displaystyle P'}$을 지나는 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 수선의 발을 ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$라고 하자. 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$를 중심으로 하고 점 ${\displaystyle P'}$을 지나는 원이 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$와 각각 두 점 ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$과 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$과 ${\displaystyle Z}$에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$를 중심으로 하고 점 ${\displaystyle P}$을 지나는 원이 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$와 각각 두 점 ${\displaystyle U'}$와 ${\displaystyle V'}$, ${\displaystyle W'}$과 ${\displaystyle X'}$, ${\displaystyle Y'}$과 ${\displaystyle Z'}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$는 점 ${\displaystyle P}$를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 ${\displaystyle U'}$, ${\displaystyle V'}$, ${\displaystyle W'}$, ${\displaystyle X'}$, ${\displaystyle Y'}$, ${\displaystyle Z'}$은 점 ${\displaystyle P'}$을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$의 드로츠파르니 원(영어: Droz-Farny circles)이라고 한다.^{[1]:71, §7.4, (ix)}

증명:

점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$의 중점을 ${\displaystyle M}$이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}PU^{2}&=PD^{2}+DU^{2}\\&=PD^{2}+{DP'}^{2}\\&=(PM^{2}+DM^{2}-2PM\cdot DM\cdot \cos \angle PMD)+(P'M^{2}+DM^{2}-2\cdot P'M\cdot DM\cdot \cos \angle P'MD)\\&={\frac {1}{2}}{PP'}^{2}+2DM^{2}\end{aligned}}}$

첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 ${\displaystyle U}$의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. ${\displaystyle DM}$은 점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$에만 의존한다. 따라서 ${\displaystyle PU}$는 점 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle P'}$에만 의존하며, ${\displaystyle U}$를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.

예

다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.

• 외심과 수심^{[1]:71, §7.4, (ix)}
• 내심과 자기 자신
• 무게 중심과 대칭 중점^{[1]:57, §7.3}

같이 보기

• 삼각형의 중심