디리클레 등차수열 정리

수론에서 디리클레 등차수열 정리(Dirichlet等差數列定理, 영어: Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions)는 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다는 정리다.

정의

${\displaystyle a_{0}}$와 ${\displaystyle b}$가 서로소인 양의 정수라고 하자. 디리클레 등차수열 정리에 따르면, 등차수열

${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }=(a_{0}+nb)_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{0}+b,a_{0}+2b,\dots )}$

에는 무한히 많은 소수가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을

${\displaystyle a_{0}+nb}$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 소수들의 역수들의 합은 발산한다.

${\displaystyle \sum _{a_{0}+nb{\text{ prime}}}1/(a_{0}+nb)=\infty }$

예

대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.

등차수열	포함된 소수	OEIS 수열
2n + 1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	(OEIS의 수열 A065091)
4n + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	(OEIS의 수열 A002144)
4n + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	(OEIS의 수열 A002145)
6n + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	(OEIS의 수열 A002476)
6n + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	(OEIS의 수열 A007528)
8n + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	(OEIS의 수열 A007519)
8n + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	(OEIS의 수열 A007520)
8n + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	(OEIS의 수열 A007521)
8n + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	(OEIS의 수열 A007522)
10n + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	(OEIS의 수열 A030430)
10n + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	(OEIS의 수열 A030431)
10n + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	(OEIS의 수열 A030432)
10n + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	(OEIS의 수열 A030433)
12n + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, …	(OEIS의 수열 A068228)
12n + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, …	(OEIS의 수열 A040117)
12n + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, …	(OEIS의 수열 A068229)
12n + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, …	(OEIS의 수열 A068231)

역사

레온하르트 오일러는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 이 정리를 증명하였다.^[1][2] 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 해석적 수론의 시초로 여겨진다.

1946년에 아틀레 셀베르그가 초등적인 증명을 발표하였다.^[3]

같이 보기

• 그린-타오 정리