딕맨 함수

딕맨 함수 또는 딕맨-드 브루인 함수(Dickman–de Bruijn function) ${\displaystyle \rho }$는 주어진 경계까지 매끄러운 수의 비율을 추정하는 데 사용되는 특수 함수이다. 이것은 수학자 칼 딕맨 (Karl Dickman)에 의해 처음으로 연구되었는데 그는 수학 논문에서 그 정의를 내렸고^[1], 후에 네덜란드 수학자 드 브루인(Nicolaas Govert de Bruijn)에 의해 연구되었다.^[2][3]

정의

딕맨-드 브루인(Dickman-de Bruijn) 함수 ${\displaystyle \rho (u)}$는 지연 미분 방정식을 만족하는 연속 함수이다.

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}$

초기 조건 ${\displaystyle \rho (u)=1}$에 대해. 딕맨(Dickman)은 다음과 같이 증명했다. ${\displaystyle a}$는 고정되어 있다.

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,}$

${\displaystyle \Psi (x,y)}$이하의 y - smooth (또는 y - friable ) 정수의 수이다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정 ${\displaystyle a}$에 대해 엄격한 증거를 제시했으며,^[4]

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})}$에 점근한다,

${\displaystyle x\rho (a)}$ 오차를 감안하고서,

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)}$

${\displaystyle {\color {blue}{bigO}}}$ 표기법

같이 보기

• 골롬-딕맨 상수