라모어 세차 운동

물리학에서 라모어 세차 운동(영어: Larmor precession, 조지프 라모어의 이름을 따서 명명됨)은 물체의 자기 모멘트가 외부 자기장에 대해 세차 운동하는 것이다. 이 현상은 외부 돌림힘을 가하는 중력장에서 기울어진 고전적인 자이로스코프의 세차 운동과 개념적으로 유사하다. 자기 모멘트를 가진 물체는 각운동량에 비례하는 각운동량과 유효 내부 전류도 가지고 있다. 여기에는 전자, 양성자, 다른 페르미온, 많은 원자 및 원자핵 시스템뿐만 아니라 고전적인 거시적 시스템도 포함된다. 외부 자기장은 자기 모멘트에 돌림힘을 가한다.

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},}$

양의 자기회전비율을 가진 입자의 세차 운동 방향.

  외부 자기장

  자기 쌍극자 모멘트

  쌍극자 축의 세차 운동

여기서 ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$는 돌림힘, ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$는 자기 쌍극자 모멘트, ${\displaystyle {\vec {J}}}$는 각운동량 벡터, ${\displaystyle {\vec {B}}}$는 외부 자기장, ${\displaystyle \times }$는 벡터곱을 나타내고, ${\displaystyle \gamma }$는 자기회전비율로 자기 모멘트와 각운동량 사이의 비례 상수를 나타낸다. 각운동량 벡터 ${\displaystyle {\vec {J}}}$는 라모어 주파수(영어: Larmor frequency)라고 알려진 각진동수로 외부 자기장 축을 중심으로 세차 운동한다.

${\displaystyle \omega =\vert \gamma B\vert }$,

여기서 ${\displaystyle \omega }$는 각진동수이고,^[1] ${\displaystyle B}$는 가해진 자기장의 크기이며, ${\displaystyle \gamma }$는 기본 전하 ${\displaystyle -e}$를 가진 입자에 대한 자기회전비율이다.^[2] 이는 ${\displaystyle -{\frac {eg}{2m}}}$와 같으며, 여기서 ${\displaystyle m}$은 세차 운동하는 시스템의 질량이고 ${\displaystyle g}$는 시스템의 G-상수이다. G-상수는 시스템의 각운동량과 내재된 자기 모멘트를 관련시키는 단위 없는 비례 상수이다. 고전 물리학에서는 전하와 질량 밀도가 동일하게 분포된 모든 강체에 대해 1이다. 라모어 주파수는 ${\displaystyle {\vec {J}}}$와 ${\displaystyle {\vec {B}}}$ 사이의 각도와는 무관하다.

핵물리학에서 주어진 시스템의 G-상수는 핵자 스핀, 궤도 각운동량 및 각운동량 결합의 영향을 포함한다. 일반적으로 이러한 다체 시스템에 대한 G-상수는 계산하기 매우 어렵지만, 대부분의 핵에 대해 높은 정밀도로 측정되었다. 라모어 주파수는 핵자기 공명 분광법에서 중요하다. 주어진 자기장 세기에서 라모어 주파수를 제공하는 자기회전비율은 측정되어 표로 작성되었다.^[3]

중요하게도, 라모어 주파수는 가해진 자기장과 자기 모멘트 방향 사이의 극각과 무관하다. 이것이 핵자기 공명(NMR) 및 전자 스핀 공명(EPR)과 같은 분야에서 핵심 개념이 되는 이유이다. 세차 운동 속도가 스핀의 공간적 방향에 의존하지 않기 때문이다.

토마스 세차 운동 포함

위 방정식은 대부분의 응용 분야에서 사용되는 방정식이다. 그러나 완전한 처리는 토마스 세차 운동의 효과를 포함해야 하며, 다음 방정식을 얻는다 (E와 B가 동일한 단위를 가지도록 CGS 단위를 사용함):

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 상대론적 로런츠 인자(위의 자기회전비율과 혼동하지 말 것)이다. 특히, 전자 스핀 g는 2에 매우 가깝기(2.002...) 때문에 g = 2로 설정하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$

바르그만–미셸–텔레그디 방정식

외부 전자기장 내 전자의 스핀 세차 운동은 바르그만–미셸–텔레그디(BMT) 방정식(발렌타인 바르그만, 루이 미셸 및 발렌타인 텔레그디의 이름을 따서 명명됨)으로 설명된다.^[4]

${\displaystyle {\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

여기서 ${\displaystyle a^{\tau }}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle \mu }$는 각각 편광 4-벡터, 전하, 질량, 자기 모멘트이고, ${\displaystyle u^{\tau }}$는 전자의 4-속도( ${\displaystyle c=1}$인 단위계에서), ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$, ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$이며, ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$는 전자기장 강도 텐서이다. 운동 방정식을 사용하여

${\displaystyle m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },}$

BMT 방정식의 오른쪽 첫 번째 항은 ${\displaystyle (-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }}$로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle w^{\tau }=du^{\tau }/ds}$는 4-가속도이다. 이 항은 페르미–워커 수송을 설명하고 토마스 세차 운동으로 이어진다. 두 번째 항은 라모어 세차 운동과 관련이 있다.

전자기장이 공간적으로 균일하거나 ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$와 같은 기울기 힘을 무시할 수 있을 때, 입자의 병진 운동은 다음으로 설명된다.

${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.}$

BMT 방정식은 다음으로 작성된다.^[5]

${\displaystyle {\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,}$

토마스-BMT의 빔 광학 버전은 하전 입자 빔 광학의 양자 이론에서 가속기 광학에 적용할 수 있다.^[6][7]

응용

레프 란다우와 예브게니 립시츠가 1935년에 발표한 논문은 라모어 세차 운동의 강자성 공명의 존재를 예측했으며, 이는 1946년에 J. H. E. 그리피스(영국)^[8]와 E. K. 자보이스키(USSR)의 실험에서 독립적으로 검증되었다.^[9][10]

라모어 세차 운동은 핵자기 공명, 자기공명영상, 전자 스핀 공명, 뮤온 스핀 공명, 중성자 스핀 에코에서 중요하다. 또한 우주진 입자의 정렬에도 중요하며, 이는 별빛의 편광의 원인이 된다.

자기장 내 입자의 스핀을 계산하려면 일반적으로 입자가 움직이는 경우 토마스 세차 운동도 고려해야 한다.

세차 운동 방향

전자의 스핀 각운동량은 자기장 방향에 대해 반시계 방향으로 세차 운동한다. 전자는 음전하를 가지므로 자기 모멘트의 방향은 스핀의 방향과 반대이다.

같이 보기

• 라모어 중성자 현미경