라이프니츠 대수

추상대수학에서 라이프니츠 대수(Leibniz代數, 영어: Leibniz algebra) 또는 로데 대수(Loday代數, 영어: Loday algebra)는 리 대수의 개념의 “비가환” 일반화이다. 즉, 일종의 야코비 항등식을 따르지만, 이항 연산이 반대칭일 필요가 없다. 대수적 K이론에 등장한다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$ 위의 왼쪽 라이프니츠 대수 ${\displaystyle (K,[-,-])}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle [-,-]\colon L\otimes _{K}L\to L}$. 편의상 ${\displaystyle [-,-]\colon a\otimes _{K}b\mapsto [a,b]}$로 표기하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(야코비 항등식) 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여, ${\displaystyle [a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]}$

즉, 만약

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[x,y]}$

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

${\displaystyle [\operatorname {ad} _{a},\operatorname {ad} _{b}]c=\operatorname {ad} _{[a,b]}c}$

마찬가지로, 오른쪽 라이프니츠 대수는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[x,y]}$

임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여, ${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[c,b]]+[[a,c],b]}$

즉, 만약

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[y,x]}$

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

${\displaystyle [\operatorname {ad} _{a},\operatorname {ad} _{b}]c=\operatorname {ad} _{[a,b]}c}$

이 두 개념은 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉, 만약 ${\displaystyle (A,[-,-])}$가 왼쪽 라이프니츠 대수라면,

${\displaystyle [x,y]^{\operatorname {op} }=[y,x]}$

를 정의하면 ${\displaystyle (A,[-,-]^{\operatorname {op} })}$은 오른쪽 라이프니츠 대수이다.

성질

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle K}$-리 대수는 항상 ${\displaystyle K}$-라이프니츠 대수이다. 반대로, ${\displaystyle K}$-라이프니츠 대수 ${\displaystyle L}$이 리 대수가 될 필요충분조건은

${\displaystyle [a,a]=0\qquad \forall a\in L}$

인 것이다.

역사

1965년에 알렉산드르 블로흐(러시아어: Алекса́ндр М. Блох)가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”(러시아어: D-алгебра)라고 불렀다.^[1] 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”(프랑스어: algèbre de Leibniz)라는 용어를 도입하였다.^[2]