라플라스 극한

수학에서 라플라스 극한(영어: Laplace limit)은 케플러 방정식(Kepler's equation)의 직렬 해 ${\displaystyle \varepsilon ^{n}}$가 수렴하는 이심률의 최대 값 ${\displaystyle L}$이다. 이것은 대략,

${\displaystyle L=0.66274341934918158097474209710925290....(OEISA033259)}$

케플러의 방정식 ${\displaystyle M=E-\varepsilon sinE}$는 편심 ${\displaystyle \varepsilon }$이 있는 타원에서 움직이는 물체에 대한 평균 편차 ${\displaystyle M}$과 편심이 변형된 ${\displaystyle E}$를 관련 짓는다. 이 방정식은 기본 함수의 관점에서 E에 대해 풀 수 없지만 라그랑주의 반전 정리(Lagrange reversion theorem)는 해를 ${\displaystyle \varepsilon ^{n}}$의 멱급수로 나타낸다.

${\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon ^{1}+{1 \over 2}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({3 \over 8}\sin(3M)-{1 \over 8}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }$

라플라스는 이 시리즈(급수)가 편심의 작은 값에 대해 수렴하지만 이심률이 특정 값을 초과할 때에는 갈라지는 것을 알았다. 라플라스 극한은 이값 ${\displaystyle L}$이다. 이는 멱급수의 수렴 반경 ${\displaystyle r}$이다.

• 라플라스 극한 상수 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}L^{n}}$

${\displaystyle a_{n}={1 \over {2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor {n \over 2}\rfloor }(-1)^{k}{n \choose k}(n-2k)^{n-1}sin[(n-2k)M]}$

${\displaystyle r={{Le^{\left({\sqrt {1+L^{2}}}\right)}} \over {1+{\sqrt {1+L^{2}}}}}=1\leq 1\;\;,\quad e=}$극한값 e

${\displaystyle r={{(0.66274....)e^{\left({\sqrt {1+(0.66274....)^{2}}}\right)}} \over {1+{\sqrt {1+(0.66274....)^{2}}}}}=0.9999999999....=1}$

같이 보기

• 궤도 이심률
• 수학 상수
• 베셀 함수