라플라스 방법

수학에서 라플라스 방법(영어: Laplace’s method)은 실변수 함수의 적분을 그 극대점 근처에서 근사하는 방법이다.

라플라스 방법의 예. 적분 ${\displaystyle \int \exp(\lambda \sin(x)/x)\,dx}$ (푸른 선)를 라플라스 방법으로 근사한다. 첫 그림은 ${\displaystyle \lambda =0.5}$인 경우, 둘째 그림은 ${\displaystyle \lambda =3}$인 경우다. ${\displaystyle \lambda }$가 증가할수록 적분이 가우스 함수(붉은 선)의 적분에 근접하는 것을 알 수 있다.

정의

2차 미분가능 함수 ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle D}$의 내부 ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {int} U}$에서 최댓값을 갖는다고 하고, 이 점에서의 헤세 행렬의 행렬식을 ${\displaystyle \det Hf(x_{0})}$이라고 하자.

그렇다면 다음과 같은 근사법이 성립한다. 매우 큰 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$에 대하여,

${\displaystyle \int _{D}g(x)\exp(\lambda f(x))\,dx\approx \exp(\lambda f(x_{0})){\sqrt {\frac {(2\pi /\lambda )^{n}}{|\det Hf(x_{0})|}}}\left(g(x_{0})+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-1})\right)}$

역사

피에르시몽 라플라스가 1774년 도입하였다.^[1]