에 대하여, 다음과 같은 함수
를 정의하자.


즉,
는
이상의 원소들을 뒤로 한 칸 밀며, 나머지 원소들은 움직이지 않는다. 그렇다면, 함수


는 일대일 대응이다.
행렬식의 라이프니츠 공식 속,
를 포함하는 항

을 생각하자. 또한,


라고 하자. 그렇다면,

이며,


이다. 또한,
는
개의 호환으로 표현할 수 있으므로,

이다. 따라서,

여러 행에 대한 전개
위 증명과 비슷하게, 다음 대상들을 정의하자. (
)
원소 집합
에 대하여,
은 의 원소들을 뒤로 밀어
의 원소들에 공백이 생기도록 하는 함수이다.
- 일대일 대응

![{\displaystyle \sigma \mapsto (\mu _{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu _{[n]\setminus I},\mu _{J}^{-1}\sigma \mu _{I})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d515f97772e6907db76cdfa6b6fe491d0c965b)
행렬식의 라이프니츠 공식에서,
인 항

을 생각하자. 또한,
![{\displaystyle \tau _{1}=\mu _{\sigma ([n]\setminus I)}^{-1}\sigma \mu _{[n]\setminus I}\in S_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20a461cdf0bba4049a9dc23af44ecd576a0331d)

를 정의하자. 그렇다면,
는 다음과 같이
으로 환원된다.
의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는
과 같다.
의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는
와 같다.
에 대하여,
를
번째로 돌려 놓는다. 치환의 부호는
와 같다.
그러므로,

이며, 따라서
![{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}\sum _{\sigma (I)=J}(-1)^{\sum I+\sum J}\operatorname {sgn} \tau _{1}\operatorname {sgn} \tau _{2}\,a_{1\sigma _{1}}\cdots a_{n\sigma _{n}}\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau _{1}\prod _{i\in I}a_{i\sigma _{i}}\right)\left(\sum _{\sigma (I)=J}\operatorname {sgn} \tau _{2}\prod _{i\in [n]\setminus I}a_{i\sigma _{i}}\right)\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}\left(\sum _{\tau _{1}\in S_{k}}\operatorname {sgn} \tau _{1}\prod _{i\in I}a_{i\sigma _{i}}\right)\left(\sum _{\tau _{2}\in S_{n-k}}\operatorname {sgn} \tau _{2}\prod _{i\in [n]\setminus I}a_{i\sigma _{i}}\right)\\&=\sum _{|J|=k}(-1)^{\sum I+\sum J}A_{I,J}M_{I,J}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e33cc1cce9226a45ead4d5ddf4359d2e442f42)