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란다우 문제
에드문트 란다우가 제시한 소수에 관한 네 가지 문제 위키백과, 무료 백과사전
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란다우 문제(Landau's problems)는 1912년 국제 수학자 대회에서 에드문트 란다우가 제시한 소수에 관한 네 가지 문제들이다.
문제
네 가지 문제는 다음과 같다.
- 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
- 쌍둥이 소수 추측: 가 소수인 소수 가 무한히 존재하는가?
- 르장드르의 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
- 이 제곱수인 소수 가 무한히 존재하는가? 다시 말해, 꼴의 소수가 무한히 존재하는가?
2025년 1월 16일 기준, 네 문제 모두 미해결 상태이다.
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진행 상황
요약
관점
골드바흐의 추측
1937년에 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.
1937년, 천징룬은 충분히 큰 에 대해서, 소수 와 소수 또는 반소수인 에 대해 가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다.[1] 몽고메리(Montgomery)와 본(Vaughan)은 예외적인 수(두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다.[2] 핀츠(Pintz)는 충분히 큰 에 대해 예외적인 수들이 를 만족함을 증명하였다.[3]
2015년, 토모히로 야마다는 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.
쌍둥이 소수 추측
장이탕[4]은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.[5] 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.[6][7]
천징룬은 가 소수 또는 반소수인 소수 (Chen prime이라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.
르장드르의 추측
르장드르 추측은 소수 에 대해 다음 소수와의 간격이 보다 작음을 증명하면 해결된다. 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,[8] 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 개의 예외적인 소수(간격이 보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.
Ingham은 충분히 큰 에 대해 과 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.[10]
꼴 소수
란다우의 네 번째 문제는 부냐콥스키 추측 또는 Bateman-Horn 추측이 참일 경우 저절로 증명되며, 2020년 기준[update] 미해결 상태이다.
꼴 소수의 예로는 페르마 소수가 있으며, Henryk Iwaniec는 최대 두 개의 소인수를 가지는 꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.[11][12] Nesmith Ankeny는 Hecke 특성을 가지는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정할 때 를 만족하는 꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다.[13] 란다우의 네 번째 문제는 인 경우이다.
Merikoski[14]는 가장 큰 소인수가 이상인 꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.[15][16][17][18][19] 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다.
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같이 보기
각주
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