레비치비타 접속

레비치비타 접속(Levi-Civita接續, 영어: Levi-Civita connection)은 일반화 리만 다양체의 계량 텐서로 정의할 수 있는 아핀 접속이다. 이탈리아의 수학자 툴리오 레비치비타의 이름을 땄다.

정의 및 성질

일반화 리만 다양체 (즉, 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체) ${\displaystyle (M,g)}$를 생각하자. 그렇다면 ${\displaystyle M}$의 레비치비타 접속 ${\displaystyle \nabla }$은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 아핀 접속이다.

• (계량 텐서와의 호환성) ${\displaystyle \nabla g=0}$.
• (비틀림의 부재) 임의의 벡터장 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$에 대하여, ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$. 여기서 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$은 리 괄호이다.

이 두 성질을 만족하는 아핀 접속은 유일하다는 사실을 보일 수 있다. 레비치비타 접속의 성분을 직접 계량 텐서와 그 도함수로 적으면 다음과 같다.

${\displaystyle (\nabla _{X}Y)^{i}=X^{k}(\partial _{k}Y^{i}+\Gamma _{jk}^{i}Y^{j})}$.

여기서 ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$는 (제2종) 크리스토펠 기호라 불리며, 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}\sum _{r}g^{ir}\left(\partial _{j}g_{rk}+\partial _{k}g_{jr}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$.

비틀림의 부재에 따라, 크리스토펠 기호는 ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\Gamma _{kj}^{i}}$를 만족한다.

같이 보기

• 아핀 접속