준 리만 다양체

미분기하학에서 준 리만 다양체(영어: pseudo/semi-Riemannian manifold)는 양의 정부호가 아닐 수 있는 계량 텐서가 주어진 매끄러운 다양체이며, 리만 다양체의 일반화이다.

정의

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$는 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 (0,2)-텐서장 ${\displaystyle g}$가 갖추어진 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$이다.

• (대칭성) 모든 벡터장 ${\displaystyle X,Y}$에 대하여 ${\displaystyle g(X,Y)=g(Y,X)}$이다.
• (비자명성) 만약 모든 벡터장 ${\displaystyle Y}$에 대하여 ${\displaystyle g(X,Y)=0}$인 벡터장 ${\displaystyle X}$가 있다면, ${\displaystyle X=0}$이다.

${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle M}$의 계량 텐서라고 한다. 만약 ${\displaystyle g}$가 추가로 양의 정부호라면 ${\displaystyle (M,g)}$는 리만 다양체가 된다.

로런츠 다양체

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 부호수(영어: signature)는 그 계량 텐서의 부호수이다. (만약 ${\displaystyle M}$이 연결 공간이라면 이는 모든 점에서 동일하다.) 부호수가 ${\displaystyle (\dim M-1,1)}$인 다양체를 로런츠 다양체(영어: Lorentzian manifold)라고 한다. (대신 ${\displaystyle (1,\dim M-1)}$로 정의하는 문헌도 있는데, 이는 ${\displaystyle g\to -g}$로 단순히 부호를 바꾸는 것에 불과하다.)

로런츠 다양체의 응용

로런츠 다양체는 물리학에서 등장한다. 특히, 일반 상대성 이론은 시공간을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.

참고 문헌

• Chen, Bang-Yen (2011). 《Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications》 (영어). World Scientific Publisher. ISBN 978-981-4329-63-7.
• O’Neill, Barrett (1983). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》. Pure and Applied Mathematics (영어) 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0.

외부 링크

• “Pseudo-Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudo-Riemannian manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Pseudo-Riemannian manifold”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 인과 구조