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루셰 정리
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복소해석학에서 루셰 정리(-定理, 영어: Rouché's theorem)는 두 정칙 함수의 영점의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.
정의
연결 열린집합 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 두 정칙 함수 가 임의의 에 대하여
를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리에 따르면, 의 내부에서 와 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.[1][2]
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증명
요약
관점
증명1
우선, 가정에 의하여 와 는 위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수 를 정의하자.
그렇다면, 임의의 에 대하여,
이며, 는 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 의 내부에서 와 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 와 라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여
이다.
증명2
우선, 가정에 의하여, 임의의 및 에 대하여,
의 상은 항상 정수이다. 즉, 는 상수 함수이며, 특히
이다.
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예
요약
관점
방정식
이 원
의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자.[2] 다음과 같은 함수 를 정의하자.
그렇다면 는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 이라면
이다. 는 에서 3개의 영점을 가지므로, 역시 에서 3개의 영점을 갖는다.
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따름정리
루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리와 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 쉽게 증명할 수 있다.[2][3]
대수학의 기본 정리
루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.
역사
각주
참고 문헌
외부 링크
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