루셰 정리

복소해석학에서 루셰 정리(-定理, 영어: Rouché's theorem)는 두 정칙 함수의 영점의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}$가 주어졌고, 두 정칙 함수 ${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} }$가 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }$에 대하여

${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|}$

를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리에 따르면, ${\displaystyle \operatorname {im} \gamma }$의 내부에서 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle f+g}$의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.^[1][2]

증명

증명1

우선, 가정에 의하여 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle f+g}$는 ${\displaystyle \operatorname {im} \gamma }$ 위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수 ${\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} }$를 정의하자.

${\displaystyle h(z)=1+{\frac {g(z)}{f(z)}}\qquad \forall z\in D}$

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }$에 대하여,

${\displaystyle \left|h(z)-1\right|<1}$

이며, ${\displaystyle h}$는 ${\displaystyle \operatorname {im} \gamma }$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 ${\displaystyle \operatorname {im} \gamma }$의 내부에서 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle f+g}$의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 ${\displaystyle N(\gamma ,f)}$와 ${\displaystyle N(\gamma ,f+g)}$라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여

${\displaystyle N(\gamma ,f+g)-N(\gamma ,f)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }\left({\frac {f'(z)+g'(z)}{f(z)+g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{h\circ \gamma }{\frac {\mathrm {d} w}{w}}=0}$

이다.

증명2

우선, 가정에 의하여, 임의의 ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 및 ${\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }$에 대하여,

${\displaystyle f(z)+tg(z)\neq 0}$

이다. 편각 원리에 의하여, 연속 함수

${\displaystyle \varphi \colon [0,1]\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)+tg'(z)}{f(z)+tg(z)}}\mathrm {d} z\qquad \forall t\in [0,1]}$

의 상은 항상 정수이다. 즉, ${\displaystyle \varphi }$는 상수 함수이며, 특히

${\displaystyle N(\gamma ,f)=\varphi (0)=\varphi (1)=N(\gamma ,f+g)}$

이다.

예

방정식

${\displaystyle z^{7}-4z^{3}+z-1=0}$

이 원

${\displaystyle |z|=1}$

의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자.^[2] 다음과 같은 함수 ${\displaystyle f,g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$를 정의하자.

${\displaystyle f(z)=4z^{3}\qquad \forall z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(z)=z^{7}+z-1\qquad \forall z\in \mathbb {C} }$

그렇다면 ${\displaystyle f,g}$는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 ${\displaystyle |z|=1}$이라면

${\displaystyle |g(z)|\leq 3<4=|f(z)|}$

이다. ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle |z|<1}$에서 3개의 영점을 가지므로, ${\displaystyle f+g}$ 역시 ${\displaystyle |z|<1}$에서 3개의 영점을 갖는다.

따름정리

루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리와 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 쉽게 증명할 수 있다.^[2][3]

대수학의 기본 정리

루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.

역사

프랑스 수학자 외젠 루셰(프랑스어: Eugène Rouché)의 이름이 붙어 있다.