르베그 분해

측도론에서 르베그 분해(영어: Lebesgue decomposition)는 임의의 시그마 유한 측도를 절대 연속 성분(絶對連續成分, 영어: absolutely continuous component)과 특이 연속 성분(特異連續成分, 영어: singular continuous component)과 순수 점 성분(純粹點成分, 영어: pure point component)의 합으로 나타내는 표준적인 표현이다. 이 세 성분 가운데 절대 연속 성분과 순수 점 성분의 경우 간단한 구조 정리가 존재하지만, 특이 연속 성분의 구조는 매우 복잡하다. 일부 경우, 특이 연속 성분이 0임을 증명할 수 있다.

복소수 힐베르트 공간 위의 자기 수반 작용소는 그 스펙트럼 위의 측도를 정의하며, 그 르베그 분해는 이에 대응되는 복소수 힐베르트 공간의 직합 분해를 정의한다.

정의

특이 측도

가측 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ 위의 두 측도 ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$에 대하여, 만약 다음 조건들을 만족시키는 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$가 존재한다면, 이 두 측도가 서로 특이 측도(영어: singular measures)라고 한다.

• ${\displaystyle A\cup B=X}$
• ${\displaystyle \mu (A\cap S)=0\qquad \forall S\in {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle \nu (B\cap S)=0\qquad \forall S\in {\mathcal {F}}}$

르베그 분해

시그마 유한 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$에 대하여, ${\displaystyle \mu }$의 르베그 분해는 다음과 같은 꼴의 분해이다.

${\displaystyle \mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{\text{s}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mu _{\text{ac}}\ll \mu }$. 즉, ${\displaystyle \mu _{\text{ac}}}$는 ${\displaystyle \mu }$-절대 연속 측도이다.
• ${\displaystyle \mu _{\text{s}}\perp \mu }$

또한, 특이 성분 ${\displaystyle \mu _{\text{s}}}$는 다음과 같이 추가로 분해된다.

${\displaystyle \mu _{\text{s}}=\mu _{\text{pp}}+\mu _{\text{sc}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mu _{\text{pp}}}$는 순수하게 원자로만 구성된 측도이다. 즉, 어떤 가산 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {C}}\to (0,\infty ]}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \mu _{\text{pp}}(S)=\sum _{C\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {P}}(S)}f(C)\qquad \forall S\in {\mathcal {F}}}$

  ${\displaystyle \forall S\in {\mathcal {F}}\colon (\mu _{\text{pp}}(S\cap C)>0\implies S\cap C=C)}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sc}}}$는 원자를 갖지 않는다. 즉, 임의의 ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mu _{\text{sc}}(C)>0}$이라면, ${\displaystyle \mu _{\text{pp}}(C\cap S)>0}$이자 ${\displaystyle C\cap S\neq C}$인 ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$가 존재한다.

절대 연속 성분 ${\displaystyle \mu _{\text{ac}}}$는 라돈-니코딤 정리에 의하여 쉽게 이해될 수 있다. 즉, 특이 연속 성분을 제외하면 르베그 분해의 나머지 두 성분은 쉽게 이해된다.

작용소의 경우

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 조밀 부분 집합 ${\displaystyle D\subseteq {\mathcal {H}}}$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 ${\displaystyle T\colon D\to {\mathcal {H}}}$는 그 스펙트럼 ${\displaystyle \sigma (D)}$ 위의 측도를 정의한다. 이 경우, ${\displaystyle \sigma (D)}$ 위의 측도 ${\displaystyle \mu }$를 위와 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle \mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{\text{sc}}+\mu _{\text{pp}}}$

이에 따라, 측도의 분해에 대응하는 힐베르트 공간의 직합 분해를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\text{ac}}\oplus {\mathcal {H}}_{\text{sc}}\oplus {\mathcal {H}}_{\text{pp}}}$

예

칸토어 3진 함수의 그래프

칸토어 3진 함수(Cantor三進函數, 영어: Cantor ternary function)를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle f\colon [0,1]\to [0,1]}$

${\displaystyle f\colon \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}3^{-i}\mapsto {\begin{cases}\left(\sum _{i=1}^{a_{i}-1}a_{i}2^{-i-1}\right)+a_{i_{0}}2^{-i_{0}}&\exists i_{0}=\min\{i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon a_{i}=1\}\\\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}2^{-i-1}&\nexists i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon a_{i}=1\\\end{cases}},\qquad a_{1},a_{2},\dotsc \in \{0,1,2\}}$

즉, 이 함수는 수의 3진법 표현에 일종의 알고리즘을 가해 2진법으로 표현된 수를 정의한다.

그렇다면, ${\displaystyle f}$를 누적 분포 함수로 갖는, ${\displaystyle [0,1]}$ 위의 르베그 측도는 르베그 분해 아래 순수하게 특이 연속 성분만으로 구성된다.

역사

앙리 르베그가 도입하였다.^{[1]:61; 163, Remark 1; §VIII.III}