리스의 보조정리

리스의 보조정리(Riesz' lemma, -補助定理)는 헝가리 수학자 리스 프리제시의 이름이 붙은 함수해석학의 보조정리이다. 이는 노름 공간의 어떤 부분공간이 조밀집합이라는 것을 보장하는 조건을 제시한다.

공식화

X가 노름 공간이고, Y가 X의 닫힌 진부분공간이라 하자. 그러면 임의의 실수 0<a<1에 대해서 ${\displaystyle x_{a}\in S_{X}=\{x\in X|\parallel x\parallel =1\}}$ 이 존재하여 모든 ${\displaystyle y\in Y}$ 에 대하여 다음이 성립한다.^[1]

${\displaystyle \parallel x_{a}-y\parallel >a.}$

증명

${\displaystyle x\in X-Y}$를 임의로 하나 잡는다. Y가 닫힌집합이므로 ${\displaystyle 0<d=\inf\{\parallel x-z\parallel |z\in Y\}<{\frac {d}{a}}}$이다. 따라서 ${\displaystyle z\in Y}$ 가 존재하여 ${\displaystyle \parallel x-z\parallel <{\frac {d}{a}}}$ 이 된다. 이제 ${\displaystyle x_{a}:={\frac {x-z}{\parallel x-z\parallel }}}$ 라 하면, ${\displaystyle x_{a}\in S_{X}}$ 이고, ${\displaystyle y\in Y}$ 이면,

${\displaystyle \parallel x_{a}-y\parallel =\parallel {\frac {x-z}{\parallel x-z\parallel }}-y\parallel ={\frac {\parallel x-(z+\parallel x-z\parallel y)\parallel }{\parallel x-z\parallel }}>{\frac {a}{d}}d=a.}$^[1]