리처드슨 수

리처드슨 수(영어: Richardson number), Ri로 표기되며, 루이스 프라이 리처드슨(1881~1953)의 이름을 따서 명명되었다.^[1] 이는 부력 항과 유속전단 항의 비율을 나타내는 무차원 수이다. 유체 역학에서는 다음과 같이 표현된다.^[2] $${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\text{부력}}{\text{유속 전단}}}={\frac {g}{\rho }}{\frac {\partial \rho /\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}},}$$ 여기서 ${\displaystyle g}$는 국부적인 중력 가속도, ${\displaystyle \rho }$는 질량 밀도, ${\displaystyle u}$는 대표적인 유속, ${\displaystyle z}$는 깊이를 나타낸다.

위에 주어진 리처드슨 수는 여러 변형 중 하나이며, 일기예보뿐만 아니라 해양, 호수, 저수지에서의 밀도 및 탁도류 연구에 실용적으로 중요하다.

밀도 차이가 작은 흐름(부시네스크 근사)을 고려할 때, 축소 중력 ${\displaystyle g'}$를 사용하는 것이 일반적이다. 이 경우 밀도 리처드슨 수는 다음과 같다. $${\displaystyle \mathrm {Ri} =-{\frac {\partial g'/\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}},}$$ 이것은 대기 또는 해양 흐름을 조사할 때 자주 사용된다.

Ri < 1이면 흐름에서 부력을 무시할 수 있다. 반대로 Ri > 1이면 유체를 균질화하기에 운동 에너지가 불충분하다는 의미에서 부력이 지배적이다. 그러나 Ri ≈ 1이면 흐름은 부력에 의해 구동될 가능성이 높다. 즉, 흐름의 에너지는 시스템의 위치 에너지에서 파생된다.

항공

항공에서 리처드슨 수는 예상되는 대기 난류의 대략적인 척도로 사용된다. 값이 낮을수록 난류의 정도가 높다. 10에서 0.1 사이의 값이 일반적이며, 1보다 작은 값은 상당한 난류를 나타낸다.

열 대류

열 대류에서 리처드슨 수는 자연 대류가 강제 대류에 비해 얼마나 중요한지를 나타낸다. $${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {g\beta (T_{\text{hot}}-T_{\text{ref}})L}{v^{2}}},}$$ 여기서 ${\displaystyle g}$는 중력 가속도, ${\displaystyle \beta }$는 열팽창 계수, ${\displaystyle T_{\text{hot}}}$은 뜨거운 벽 온도, ${\displaystyle T_{\text{ref}}}$은 기준 온도, ${\displaystyle L}$은 특성 길이, ${\displaystyle v}$는 특성 속도이다.

리처드슨 수는 또한 그라스호프 수와 레이놀즈 수의 조합을 사용하여 표현될 수 있다. $${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}.}$$ 일반적으로 Ri < 0.1일 때는 자연 대류를 무시할 수 있고, Ri > 10일 때는 강제 대류를 무시할 수 있으며, 0.1 < Ri < 10일 때는 둘 다 무시할 수 없다. 극히 낮은 강제 유동 속도를 제외하고는 일반적으로 강제 대류가 자연 대류에 비해 크다. 그러나 부력은 혼합 대류 흐름의 층류-난류 전이를 정의하는 데 중요한 역할을 하는 경우가 많다.^[3] 물로 채워진 열에너지 저장 탱크 설계에 리처드슨 수가 유용할 수 있다.^[4]

기상학

대기 과학에서는 여러 가지 다른 리처드슨 수 표현이 일반적으로 사용된다: 플럭스 Ri (기본적), 기울기 Ri, 벌크 Ri.

플럭스 리처드슨 수는 부력에 의한 난류 운동 에너지 생성(또는 억제)과 전단에 의한 난류 생성의 비율이다.^[5] $${\displaystyle \mathrm {Ri} _{\text{f}}={\frac {(g/T_{\text{v}}){\overline {w'\theta _{\text{v}}'}}}{{\overline {u'w'}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}+{\overline {v'w'}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}}},}$$ 여기서 ${\displaystyle T_{\text{v}}}$는 가온도, ${\displaystyle \theta _{\text{v}}}$는 가잠재온도, ${\displaystyle z}$는 고도이다. 양 ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$는 각각 풍속의 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ (수직) 성분이다. 프라임이 붙은 양(예: ${\displaystyle w'}$)은 해당 장이 레이놀즈 평균에서 벗어난 정도를 나타낸다.

기울기 리처드슨 수는 위의 플럭스 리처드슨 수를 K-이론을 사용하여 근사하여 얻어진다. 이는 다음과 같다.^[6] $${\displaystyle \mathrm {Ri} _{\text{g}}={\frac {(g/T_{\text{v}}){\frac {\partial \theta _{\text{v}}}{\partial z}}}{({\frac {\partial u}{\partial z}})^{2}+({\frac {\partial v}{\partial z}})^{2}}}.}$$

벌크 리처드슨 수는 위의 기울기 리처드슨 수 표현에서 미분항을 유한차분 근사한 결과이다.^[7] $${\displaystyle \mathrm {Ri} _{\text{b}}={\frac {(g/T_{{\text{v}}0})\Delta \theta _{\text{v}}\Delta z}{(\Delta u)^{2}+(\Delta v)^{2}}},}$$ 여기서 어떤 변수 ${\displaystyle f}$에 대해 ${\displaystyle \Delta f=f_{z1}-f_{z0}}$는 고도 ${\displaystyle z1}$과 고도 ${\displaystyle z0}$에서의 ${\displaystyle f}$의 차이를 나타낸다. 하위 기준 수준을 ${\displaystyle z0=0}$으로 취하면 ( 미끄럼 방지 경계 조건에 의해) ${\displaystyle u_{z0}=v_{z0}=0}$이 되어 벌크 리처드슨 수는 다음과 같다. $${\displaystyle \mathrm {Ri} _{\text{b}}={\frac {(g/\theta _{{\text{v}}0})(\theta _{{\text{v}}z1}-\theta _{{\text{v}}0})z}{(u_{z1})^{2}+(v_{z1})^{2}}}.}$$

해양학

해양학에서 리처드슨 수는 성층화를 고려한 보다 일반적인 형태를 가진다. 이 맥락에서 Ri는 구동되는 전단 흐름의 경우 켈빈-헬름홀츠 불안정을 모델링하는 데 사용되는 테일러-골드스타인 방정식에 의해 설명되는 바와 같이 수층에서 기계적 및 밀도 효과의 상대적 중요성을 측정한다. $${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {N^{2}}{(\partial u/\partial z)^{2}}},}$$ 여기서 ${\displaystyle N}$은 브룬트-바이살라 진동수이고 ${\displaystyle \partial u/\partial z}$는 수심 유속 전단이다.

위의 리처드슨 수는 항상 양수로 간주된다. ${\displaystyle N^{2}}$의 음수 값 (즉, ${\displaystyle N}$이 복소수인 경우)은 활발한 대류 전복을 동반하는 불안정한 밀도 기울기를 나타낸다. 이러한 상황에서는 음수 Ri의 크기는 일반적으로 중요하지 않다. Ri < 0.25는 속도 전단이 성층화된 유체가 성층 상태를 유지하려는 경향을 극복하기 위한 필수 조건이며, 일반적으로 약간의 혼합(난류)이 발생한다는 것을 보여줄 수 있다. Ri가 클 때는 성층화를 가로지르는 난류 혼합이 일반적으로 억제된다.^[8]