마스 파동 형식

수학에서 마스 파동 형식(영어: Maass wave form)은 모듈러 형식과 유사하지만 정칙함수가 아니라 일종의 조화함수인 복소함수이다. 한스 마스가 1949년 정의하였다.^[1]

정의

상반평면 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} \tau >0\}}$ 위의 라플라스 연산자는 다음과 같다. ${\displaystyle \tau =x+iy}$라면,

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

약한 마스 파동 형식(영어: Maass wave form)은 다음 성질들을 만족시키는, 상반평면 위에 정의된 복소함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$이다.

• ${\displaystyle f}$는 모듈러 군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$의 작용에 불변이다. 즉, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$에 대하여 ${\displaystyle f((az+b)/(cz+d),(a{\bar {z}}+b),(c{\bar {z}}+d))=f(z,{\bar {z}})}$이다.
• ${\displaystyle f}$는 상반평면 라플라스 연산자 ${\displaystyle \Delta }$의 고유함수이다. 즉, ${\displaystyle \Delta f=0}$이다.

마스 파동 형식은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$의 첨점 근처에서, ${\displaystyle x,y}$에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(영어: mock modular form)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

같이 보기

• 보형 형식
• 모듈러 형식