메르텐스 정리 (수론)

해석적 수론에서, 메르텐스 정리(Mertens定理, 영어: Mertens’ theorems)는 프란츠 메르텐스가 1874년에 증명한, 소수의 분포에 관한 초기 결과이다. 3개의 정리로 구성된다.

소수의 역수의 합이 발산한다는 사실은 제2 메르텐스 정리의 따름정리이지만, 1737년에 레온하르트 오일러에 의하여 이미 증명되었다.^[1] 소수 정리는 제1·제2·제3 메르텐스 정리를 따름정리로 하며, 소수 정리의 더 정확한 오차의 상계를 사용할수록 메르텐스 정리의 더 정확한 오차의 상계를 얻는다.

정의

다음과 같은 ${\displaystyle x\to \infty }$ 점근식들이 성립한다.

• 제1 메르텐스 정리:

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\ln p}{p}}=\ln x+O(1)}$

• 제2 메르텐스 정리:

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\ln \ln x+B+O\left({\frac {1}{\ln x}}\right)}$

• 제3 메르텐스 정리:

  ${\displaystyle \prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }}{\ln x}}+O\left({\frac {1}{\ln ^{2}x}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle \sum _{p\leq x}}$는 ${\displaystyle x}$ 이하인 소수 ${\displaystyle p}$ 위의 합, ${\displaystyle \textstyle \prod _{p\leq x}}$는 ${\displaystyle x}$ 이하인 소수 ${\displaystyle p}$ 위의 곱, ${\displaystyle \ln }$은 자연로그, ${\displaystyle e}$는 자연로그의 밑, ${\displaystyle \gamma }$는 오일러-마스케로니 상수, ${\displaystyle O(-)}$는 점근 표기법이다. 또한,

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=1-\ln \ln 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {1}{t\ln ^{2}t}}\left(\sum _{p\leq t}{\frac {\ln p}{p}}-\ln t\right)\,dt\\&=\gamma +\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\\&=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln \zeta (k)}{k}}\\&\approx 0.26149\,72128\end{aligned}}}$

는 마이셀-메르텐스 상수다. 여기서 ${\displaystyle \mu (k)}$는 뫼비우스 함수, ${\displaystyle \zeta (k)}$는 리만 제타 함수다.

소수 정리를 통한 개선

3개의 메르텐스 정리는 최선의 근사가 아니며, (더 나중에 증명된) 소수 정리를 사용하여 개선할 수 있다. 예를 들어, 비노그라도프-코로보프 상계

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O(xe^{-a_{0}(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}})}$

로부터 다음을 유도할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\ln p}{p}}=\ln x+E+O(e^{-a_{1}(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}})}$

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\ln \ln x+B+O(e^{-a_{2}(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}})}$

${\displaystyle \prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }}{\ln x}}+O(e^{-a_{3}(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}})}$

여기서 ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb {R} ^{+}}$이며,

${\displaystyle E=-\gamma -\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{p}{\frac {\ln p}{p^{n}}}\approx -1.33258\,22757\dots }$

이다.

명시적 상계

위 상계들은 명시적이지 않다. 구체적으로, ${\displaystyle x\to \infty }$인 점근 표기법 ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$는 어떤 ${\displaystyle X,C\in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재하며, 임의의 ${\displaystyle x\geq X}$에 대하여 ${\displaystyle |f(x)|\leq C|g(x)|}$임을 뜻하는데, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle C}$ 모두 명시적으로 주어지지 않았다. 또한, 비노그라도프-코로보프 상계 속 ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$의 값도 명시적으로 주어지지 않았다.

사실, 메르텐스는 다음과 같은 명시적 상계들을 증명하였다.

• 제1 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여,

  ${\displaystyle \left|\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}\right|<2}$

• 제2 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 ${\displaystyle n\in \{2,3,4,\dots \}}$에 대하여,

  ${\displaystyle \left|\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-B\right|<{\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}}$

• 제3 메르텐스 정리의 명시적 형태: 임의의 ${\displaystyle n\in \{2,3,4,\dots \}}$에 대하여,

  ${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma -4/\ln(n+1)-2/(n\ln n)-1/(2n)}}{\ln n}}<\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)<{\frac {e^{-\gamma +4/\ln(n+1)+2/(n\ln n)+1/(2n)}}{\ln n}}}$

(메르텐스가 사용한 마이셀-메르텐스 상수의 정의는

${\displaystyle B=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln \zeta (k)}{k}}}$

이다.)

이는 최선이 아니다. 2025년 현재, 최선의 명시적 상계는 피에르 뒤사르(프랑스어: Pierre Dusart)의 결과이며, 다음과 같다.^[2]

• 임의의 ${\displaystyle x>1}$에 대하여

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\ln p}{p}}\geq \ln x+E-{\frac {0.2}{\ln x}}-{\frac {0.2}{\ln ^{2}x}}}$

• 임의의 ${\displaystyle x\geq 2974}$에 대하여

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\ln p}{p}}\leq \ln x+E+{\frac {0.2}{\ln x}}+{\frac {0.2}{\ln ^{2}x}}}$

• 임의의 ${\displaystyle x>1}$에 대하여

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}\geq \ln \ln x+B-{\frac {1}{10\ln ^{2}x}}-{\frac {4}{15\ln ^{3}x}}}$

• 임의의 ${\displaystyle x\geq 10372}$에 대하여

  ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}\leq \ln \ln x+B+{\frac {1}{10\ln ^{2}x}}+{\frac {4}{15\ln ^{3}x}}}$

• 임의의 ${\displaystyle x>1}$에 대하여

  ${\displaystyle \prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)<{\frac {e^{-\gamma }}{\ln x}}\left(1+{\frac {0.2}{\ln ^{2}x}}\right)}$

• 임의의 ${\displaystyle x\geq 2973}$에 대하여

  ${\displaystyle \prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)>{\frac {e^{-\gamma }}{\ln x}}\left(1+{\frac {0.2}{\ln ^{2}x}}\right)^{-1}}$

역사

프란츠 메르텐스가 1874년에 증명하였다.^[3][4]