모노이드 대상

범주론에서 모노이드 대상(monoid對象, 영어: monoid object)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다.

정의

${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$가 모노이드 범주라고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 모노이드 대상 ${\displaystyle (M,m,e)}$는 다음 데이터로 이루어진다.

• ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 대상이다.
• ${\displaystyle m\colon M\otimes M\to M}$, ${\displaystyle e\colon I\to M}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 사상이다. 이들은 각각 모노이드의 이항 연산 및 항등원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

• (결합 법칙) ${\displaystyle m\circ (m\otimes \operatorname {id} _{M})=m\circ (\operatorname {id} _{M}\otimes m)\circ \alpha _{M,M,M}}$. (여기서 ${\displaystyle (M\otimes M)\otimes M=M\otimes (M\otimes M)}$로 간주한다.) 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

${\displaystyle {\begin{matrix}(M\otimes M)\otimes M&{\xrightarrow {\alpha }}&M\otimes (M\otimes M)\\{\scriptstyle m}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle m\\M\otimes M&&M\otimes M\\{\scriptstyle m}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle m\\M&=&M\end{matrix}}}$

• (항등원의 존재) ${\displaystyle m\circ (e\otimes \operatorname {id} _{M})=\lambda _{M}}$이고, ${\displaystyle m\circ (\operatorname {id} _{M}\otimes e)=\rho _{M}}$이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

${\displaystyle {\begin{matrix}I\otimes M&{\xrightarrow {e}}&M\otimes M&{\xleftarrow {e}}&M\otimes I\\&{\scriptstyle \lambda }\searrow &\downarrow \scriptstyle m&\swarrow \scriptstyle \rho \\&&M\end{matrix}}}$

예

집합과 함수의 데카르트 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 모노이드와 같다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 자기 함자 범주 ${\displaystyle \operatorname {End} {\mathcal {C}}}$ 속의 모노이드 대상은 모나드라고 한다. 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$는 텐서곱과 함께 모노이드 범주를 이루며, 이 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 환의 개념과 같다.

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 211 3판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.

같이 보기

• 내적 범주
• 군 대상

외부 링크

• “Monoid in a monoidal category”. 《nLab》 (영어).