몰리 삼등분 정리

기하학에서 몰리 삼등분 정리(Morley三等分定理, 영어: Morley's trisector theorem)는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.

6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.

정의

삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 각 ${\displaystyle \angle B}$와 ${\displaystyle \angle C}$의 변 ${\displaystyle BC}$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 ${\displaystyle X}$라고 하자. 마찬가지로 각 ${\displaystyle \angle A}$와 ${\displaystyle \angle C}$의 변 ${\displaystyle AC}$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 ${\displaystyle Y}$라고 하고, 각 ${\displaystyle \angle A}$와 ${\displaystyle \angle B}$의 변 ${\displaystyle AB}$와 가까운 삼등분선의 교점이 ${\displaystyle Z}$라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$는 정삼각형이다. 삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$를 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 몰리 삼각형(Morley三角形, 영어: Morley triangle)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

증명

초등적 증명

정삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$를 고정하자.^{[1]:82-85, §2G} 임의의 삼각형 ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$를 찾는 것으로 족하다.

• 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$와 ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$은 서로 닮음이다.
• 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 몰리 삼각형은 삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$이다.

우선

${\displaystyle \angle A'=3\alpha ,\;\angle B'=3\beta ,\;\angle C'=3\gamma }$

이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }}$

이다. 삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$ 외부의 세 점 ${\displaystyle A,B,C}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \angle BZX=\angle CYX=60^{\circ }+\alpha }$

${\displaystyle \angle CXY=\angle AZY=60^{\circ }+\beta }$

${\displaystyle \angle AYZ=\angle BXZ=60^{\circ }+\gamma }$

그렇다면

${\displaystyle \angle YAZ=\alpha ,\;\angle XBZ=\beta ,\;\angle XCY=\gamma }$

이다. 이제 ${\displaystyle AY}$와 ${\displaystyle AZ}$, ${\displaystyle BX}$와 ${\displaystyle BZ}$, ${\displaystyle CX}$와 ${\displaystyle CY}$가 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 ${\displaystyle BZ}$와 ${\displaystyle CY}$의 교점이 ${\displaystyle U}$라고 하고, 직선 ${\displaystyle AZ}$와 ${\displaystyle CX}$의 교점이 ${\displaystyle V}$라고 하고, 직선 ${\displaystyle AY}$와 ${\displaystyle BX}$의 교점을 ${\displaystyle W}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle UYZ=\angle UZY=60^{\circ }-\alpha }$

이므로 ${\displaystyle UY=UZ}$이며, 삼각형 ${\displaystyle \triangle UYX}$와 ${\displaystyle \triangle UZX}$는 서로 합동이다. 특히, 반직선 ${\displaystyle UX}$는 각 ${\displaystyle \angle U}$의 이등분선이다. 또한,

${\displaystyle \angle BUC=180^{\circ }-\angle UYZ-\angle UZY=60^{\circ }+2\alpha }$

${\displaystyle \angle BXC=180^{\circ }-\angle CXW=120^{\circ }+\alpha }$

이므로,

${\displaystyle \angle BXC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BUC}$

이다. 즉, ${\displaystyle X}$는 삼각형 ${\displaystyle \triangle BCU}$의 내심이며, 반직선 ${\displaystyle BX}$와 ${\displaystyle CX}$는 각 ${\displaystyle \angle CBU}$와 ${\displaystyle \angle BCU}$의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 ${\displaystyle AY}$와 ${\displaystyle CY}$는 삼각형 ${\displaystyle \triangle ACV}$의 두 각의 이등분선이며, 반직선 ${\displaystyle AZ}$와 ${\displaystyle BZ}$는 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABW}$의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 ${\displaystyle \triangle XYZ}$는 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 몰리 삼각형이다. 또한,

${\displaystyle \angle BAC=3\alpha =\angle A'}$

${\displaystyle \angle ABC=3\beta =\angle B'}$

${\displaystyle \angle ACB=3\gamma =\angle C'}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$와 ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

삼각법을 통한 증명

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.^{[2]:43-44, §10.2} 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABC}$의 외접원의 반지름이 ${\displaystyle R}$라고 하고,

${\displaystyle \angle BAC=3\alpha ,\;\angle ABC=3\beta ,\;\angle ACB=3\gamma }$

라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }}$

이다. 삼각형 ${\displaystyle \triangle BCX}$에 사인 법칙을 적용하면

${\displaystyle {\begin{aligned}CX&={\frac {BC\cdot \sin \beta }{\sin(180^{\circ }-\beta -\gamma )}}\\&={\frac {2R\sin 3\alpha \sin \beta }{\sin(60^{\circ }-\alpha )}}\\&=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\alpha )\end{aligned}}}$

를 얻는다. 마지막 등호는 항등식

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\alpha &=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \\&=4\sin \alpha \left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}\alpha \right)\\&=4\sin \alpha (\sin 60^{\circ }+\sin \alpha )(\sin 60^{\circ }-\sin \alpha )\\&=4\sin \alpha \cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\\&=4\sin \alpha \sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }-\alpha )\end{aligned}}}$

때문이다. 마찬가지로,

${\displaystyle CY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )}$

가 성립한다. 삼각형 ${\displaystyle \triangle CXY}$에 코사인 법칙을 적용하면

${\displaystyle {\begin{aligned}XY^{2}&=CX^{2}+CY^{2}-2CX\cdot CY\cdot \cos \gamma \\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta (\sin ^{2}(60^{\circ }+\alpha )+\sin ^{2}(60^{\circ }+\beta )-2\sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }+\beta )\cos \gamma )\\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma \end{aligned}}}$

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 ${\displaystyle 60^{\circ }+\alpha }$와 ${\displaystyle 60^{\circ }+\beta }$ 및 ${\displaystyle \gamma }$인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,

${\displaystyle XY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$

이다. 이는 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$에 대하여 대칭적이므로,

${\displaystyle XY=XZ=YZ}$

가 성립한다.

역사

미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.^[3]

같이 보기

• 나폴레옹 정리