무한

언어적 의미

무한(無限, infinity)은 '수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음'을 가리킨다. 이에 대해 수학에서는 '집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음'으로 표현하기도하며 철학에서는 '시간이나 공간의 내부 부분이 한계가 있음에 대하여 선천적인 시간이나 공간 그 자체를 이르는 말'로 언급되기도 한다.

수학에서의 의미

수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다. 무한은 기수와 서수를 뜻한다.

실해석학에서의 무한

주어진 수열 ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots }$에 대하여, 아무리 큰 수 ${\displaystyle M}$를 고르더라도 ${\displaystyle a_{N},a_{N+1},a_{N+2},\cdots }$이 모두 ${\displaystyle M}$보다 커지는 그러한 ${\displaystyle N}$을 찾을 수 있다면, 수열 ${\displaystyle a_{n}}$은 "무한대로 발산한다"고 하고 기호 ${\displaystyle \infty }$를 써서 나타낸다.

이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 실수체(real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 ${\displaystyle \pm \infty }$를 포함시켜 콤팩트 집합의 성질을 갖도록 한 확장된 실수에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다.

비표준 해석학에서의 무한

비표준 해석학에서는 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.

${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$

이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.^[1]또는 무한(infinity)이라고 한다. [[${\displaystyle \infty ]][[\pm }$]]

성질

발산의 무한${\displaystyle \lim _{n\to 0}{1 \over n}=\infty }$

극한의 수렴의 무한

${\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=1.999999999.........=\lim _{\infty }1.999999999.........=2}$

이것은 0.999...에 자세히 나와 있다.

사칙연산

1÷3의 무한

1÷3=0.33333333333333... 계산기에 1÷3을 누르면 나누어 떨어지지 않고0.333333333...이런 식으로 반복된다.

원주율의 무한

(원주)÷(지름)=3.1415926535897932...등으로 끝없이 이어진다.따라서 3 또는 3.14로 줄여쓴다.^[2]