미분 등급 리 대수

수학에서 미분 등급 리 대수(微分等級Lie代數, 영어: differential graded Lie algebra)는 서로 호환되는 공사슬 복합체와 리 초대수의 구조를 갖는 수학 구조이다. 호모토피 이론과 대수기하학에서 사용된다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$ 위의 미분 등급 리 대수 ${\displaystyle (L^{\bullet },\mathrm {d} ,[,])}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$-공사슬 복합체 ${\displaystyle \textstyle L=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{i}}$, ${\displaystyle \mathrm {d} \colon L^{i}\to L^{i+1}}$. 즉,
  • 각 ${\displaystyle L^{i}}$는 ${\displaystyle K}$-가군이다.
  • ${\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle L^{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{2i}}$, ${\displaystyle \textstyle L^{-}=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{2i+1}}$ 위의 ${\displaystyle K}$-리 초대수 구조 ${\displaystyle [-,-]}$. 즉, 다음이 성립한다.
  • ${\displaystyle [x,x]=0\qquad (x\in L^{+})}$
  • ${\displaystyle [x,[x,x]]=0\qquad (x\in L^{-})}$
  • (교환 법칙) ${\displaystyle [x,y]+(-)^{ij}[y,x]=0\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})}$
  • (야코비 항등식) ${\displaystyle (-)^{ki}[x,[y,z]]+(-)^{ij}[y,[z,x]]+(-)^{jk}[z,[x,y]]=0\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j},\;z\in L^{k})}$

이 데이터는 다음과 같은 두 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• (차수) ${\displaystyle [x,y]\in L^{i+j}\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})}$
• (곱 규칙) ${\displaystyle \mathrm {d} [x,y]=[\mathrm {d} x,y]+(-)^{i}[x,\mathrm {d} y]\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})}$

같이 보기

• 미분 등급 대수
• 단체 리 대수
• L∞-대수

참고 문헌

• Quillen, Daniel (1969년 9월). “Rational homotopy theory”. 《The Annals of Mathematics》 (영어) 90 (2): 205–295. doi:10.2307/1970725. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970725.

외부 링크

• “Differential graded Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
• “Model structure on dg-Lie algebras”. 《nLab》 (영어).