바빌로니아 법(The Babylonian Method) 은 임의의 수의 제곱근 에 빠르게 수렴 하는 수열 을 만들어 근삿값 을 구하는 방법이다. 뉴턴랩슨 법 을 이용하여 이차방정식 의 근사해 를 구하는 것과 유사하다. 헤론 의 저서에서 바빌로니아 법과 비슷한 형태의 풀이가 제시되었기 때문에 바빌로니아 법을 헤론의 제곱근 풀이법이라고 하기도 한다.
양의 실수
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
임의의 양의 실수
x
0
{\displaystyle x_{0}}
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
x
n
+
1
=
1
2
(
x
n
+
a
x
n
)
=
x
n
2
+
a
2
x
n
{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)={\frac {{x_{n}}^{2}+a}{2x_{n}}}}
원하는 정밀도에 이르기까지 2의 과정을 반복한다. 위에서 구한 수열
{
x
n
}
{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}
lim
n
→
∞
x
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}
다음은
x
0
=
1
{\displaystyle x_{0}=1}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
x
1
=
3
2
=
1.5
{\displaystyle x_{1}={\frac {3}{2}}=1.5}
x
2
=
17
12
=
1.41
6
˙
{\displaystyle x_{2}={\frac {17}{12}}=1.41{\dot {6}}}
x
3
=
577
408
≈
1.4142156862
7450980392
1568627451
{\displaystyle x_{3}={\frac {577}{408}}\approx 1.4142156862~7450980392~1568627451}
x
4
=
665857
470832
≈
1.4142135623
7468991062
6295578890
1
{\displaystyle x_{4}={\frac {665857}{470832}}\approx 1.4142135623~7468991062~6295578890~1}
x
5
=
886731088897
627013566048
≈
1.4142135623
7309504880
16896235
{\displaystyle x_{5}={\frac {886731088897}{627013566048}}\approx 1.4142135623~7309504880~16896235}
x
5
{\displaystyle x_{5}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
