스피어만 브라운 공식

스피어만 브라운 공식(Spearman-Brown formula) 혹은 브라운 스피어만 공식은 심리측정 및 교육측정 분야에서 스피어만 브라운 예측 공식, 스피어만 브라운 예언 공식 등으로도 지칭된다. 스피어만 브라운 공식은 검사의 길이를 변경시켰을 때 검사의 신뢰도를 예측하는 공식으로 사용된다. 혹은, 검사의 임의의 반분간 상관관계에서 항목간 신뢰도를 구하기 위한 반분 신뢰도 공식으로도 사용된다.

예측식의 계산

예측 공식 ${\displaystyle {\rho }_{xx'}^{*}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle {\rho }_{xx'}^{*}={\frac {n{\rho }_{xx'}}{1+(n-1){\rho }_{xx'}}}}$.

여기서, n은 새롭게 만들어진 검사가 현재 검사의 몇 배인지의 비율, ${\displaystyle {\rho }_{xx'}^{*}}$은 현재 검사의 신뢰도이다.

이 공식은 현재 검사의 n배, 즉 현재 검사와 평행(parallel)인 n개의 검사를 만들었을 때 새 검사의 신뢰도를 예측한다. 예를 들어, n=2는 현재 검사와 동일한 속성을 가진 항목을 추가하여 검사의 길이를 두 배로 늘린다는 것을 의미한다. 1보다 작은 n을 쓸 경우, 검사를 줄일 때의 효과를 예측할 수 있다.

검사 길이의 예측

위의 공식을 정리하면, 특정 수준의 신뢰도를 얻기 위해서는 현재의 검사가 얼마나 더 길어져야 하는지도 예측할 수 있다.

${\displaystyle n={\frac {{\rho }_{xx'}^{*}(1-{\rho }_{xx'})}{{\rho }_{xx'}(1-{\rho }_{xx'}^{*})}}}$

반분 신뢰도

타우동등 신뢰도(tau-equivalent reliability)^[1]가 개발되기 전까지, 반분 신뢰도는 항목간 신뢰도를 구하는 유일한 방법으로 활용되었다^[2]. 즉, 전체 항목을 임의의 절반으로 나눈 후, 항목간 상관관계를 스피어만 브라운 공식에 의해 신뢰도로 변환하는 것이다.

${\displaystyle {\rho }_{xx'}={\frac {2{\rho }_{12}}{1+{\rho }_{12}}}}$

여기서, ${\displaystyle {\rho }_{12}}$은 예를 들면 짝수문항번호와 홀수문항번호간의 반절씩 반분한 피어슨 상관관계를 표현한다. 위의 공식은 앞서 제시한 예측식에서 n=2를 대입한 것이다. 타우동등 신뢰도의 개발 이후 반분 신뢰도 계수로서 스피어만 브라운 공식은 거의 사용되지 않지만, 경우에 따라 이 방법이 유용하다고 주장하는 학자들도 있다.^[3] 한편 크론바흐 알파 계수도 신뢰도가 높다.

다른 반분 신뢰도 계수와의 관계

반분 평행 신뢰도

Cho(2016)^[4]는 기존의 신뢰도 계수들이 역사적으로 부정확하고 무의미한 이름과 무원칙적이고 비일관적인 공식 표현을 갖고 있다고 비판하면서 체계적 명칭과 공식 표현을 사용할 것을 제안하였다. 스피어만 브라운 공식의 가정은 두 반분이 평행(parallel)하다는 것, 즉 두 반분의 분산이 같다는 것이다. 스피어만 브라운 공식에 제안된 체계적 명칭은 반분 평행 신뢰도(split-half parallel reliability)이다. 또한, 다음과 같은 체계적 공식이 제안되었다.

${\displaystyle {\rho }_{SP}={\frac {4{\rho }_{12}}{4{\rho }_{12}+2(1-{\rho }_{12})}}}$

반분 타우동등 신뢰도

반분 평행 신뢰도는 현실의 자료가 쉽게 충족하기 어려운 엄격한 가정을 요구한다. 반분 타우동등 신뢰도(Split-half tau-equivalent reliability)는 두 반분의 분산이 서로 같지 않은 경우에 사용될 수 있는 반분 신뢰도 계수이다. Flanagan-Rulon^[5](${\displaystyle {\rho }_{FR1}}$, ${\displaystyle {\rho }_{FR2}}$), Guttman^[6](${\displaystyle {\lambda _{4}}}$)에 의해 다음과 같은 공식들이 제안되었다.

${\displaystyle {\rho }_{FR1}={\frac {4{\rho }_{12}{\sigma }_{1}{\sigma }_{2}}{{\sigma }_{1}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}+2{\rho }_{12}{\sigma }_{1}^{2}{\sigma }_{2}^{2}}}}$, ${\displaystyle {\rho }_{FR2}=1-{\frac {{\sigma }_{D}^{2}}{{\sigma }_{X}^{2}}}}$, ${\displaystyle {\lambda }_{4}=2(1-{\frac {{\sigma }_{1}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}}{{\sigma }_{X}^{2}}})}$.

여기서 ${\displaystyle {\sigma }_{1}}$, ${\displaystyle {\sigma }_{2}}$, ${\displaystyle {\sigma }_{X}}$,${\displaystyle {\sigma }_{D}}$는 각각 첫번째 반분, 두번째 반분, 두 반분의 합, 두 반분의 차이의 분산이다.

겉보기와는 달리, 이 공식들은 모두 대수적으로 동일하다. 그 체계적 공식^[7]은 다음과 같다.

${\displaystyle {\rho }_{ST}={\frac {4{\rho }_{12}}{{\sigma }_{X}^{2}}}}$.

반분 동류 신뢰도

반분 타우동등 신뢰도는 두 반분의 길이가 같다는 가정을 갖고 있다. 반분 동류 신뢰도(Split-half congeneric reliability)는 이 가정을 완화시킨 반분 신뢰도이다. 단, 주어진 정보보다 추정해야 하는 모수가 더 많기 때문에 또 다른 가정이 필요하다. Raju(1970)^[8]는 각 반분의 상대적 길이가 알려져 있을 때의 반분 동류 신뢰도 계수를 발표하였다. Angoff(1953)^[9]과 Feldt(1975)^[10]는 각 반분의 길이가 각각의 분산과 공분산의 합에 비례한다고 가정했을 때의 반분 동류 신뢰도를 발표하였다^[11].

역사

스피어만 브라운 공식은 Brown (1910)^[12]과 Spearman (1910)^[13]이 British Journal of Psychology에 동시에 발표한 논문에서 유래한다. 찰스 스피어만은 킹스 칼리지 런던에 함께 근무하던 칼 피어슨과 사이가 좋지 않았으며, 둘은 서로를 비판하고 조롱하는 논문을 주고 받았다.^[14] 브라운은 피어슨의 지도를 받아 박사학위를 받았다. Brown은 박사 학위 논문^[15]의 중요한 부분을 Spearman의 연구^[16]를 비판하는 데 할애했다. 이 공식에서 스피어만이 브라운보다 먼저 등장하는 것은 스피어만이 브라운보다 더 명성이 높은 학자이기 때문이다.^[17] 예를 들어, 스피어만은 신뢰도에 대한 최초의 이론을 정립하였으며,^[18] "고전적 신뢰도 이론의 아버지"라고 지칭된다.^[19] 즉, 마태 효과 혹은 스티글러의 명명법칙의 한 사례이다.

다음의 이유에서 이 공식은 브라운 공식, 혹은 브라운 스피어만 공식으로 지칭되어야 한다.^[20] 첫째, 오늘날 우리가 사용하는 공식은 Spearman(1910)이 제안한 버전이 아니라, Brown(1910)이 제안한 버전이다. 반분신뢰도 공식도 Brown(1910)만이 명시적으로 제시하였다. 둘째, Brown(1910)의 공식 유도가 Spearman(1910)보다 더 간결하고 우아하다.^[21] 셋째, Brown(1910)의 논문이 Spearman(1910)보다 먼저 쓰여졌을 가능성이 높다. Brown(1910)은 그의 박사 학위 논문에 기반하고 있으며, 이 논문이 발표될 당시에 그는 이미 박사학위를 취득한 상태였다. Spearman(1910)은 Brown(1910)을 비판했지만, Brown(1910)은 Spearman(1904)만을 비판하였다.넷째, 저자들을 알파벳 순서로 표기하는 것이 미국 심리학회의 인용 원칙(APA 양식)이다.