반사관계

수학에서, 주어진 집합의 반사관계(反射關係, reflexive relation)는 집합의 모든 원소가 자기 자신에 대해 관계를 가지는 이항관계이다.^[1][2]

예를 들어 실수 집합에서 "x와 y가 같다"는 반사관계이다. 왜냐하면 모든 실수는 자기 자신과 같기 때문에, 즉 "x와 x가 같다"라는 관계를 만족하기 때문이다. 반면 "x가 y보다 크다"는 반사관계가 아니다. 왜냐하면 y=x일 때 관계를 만족하지 않기 때문이다. 반사관계는 대칭 관계, 추이적 관계와 함께 동치 관계의 세 조건 중 하나이다.

정의

반사 관계

집합 ${\displaystyle X}$에 대해 정의된 이항관계 ${\displaystyle R}$이 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대해 ${\displaystyle (x,x)\in R}$을 만족할 때, 즉 ${\displaystyle xRx}$일 때, 이를 반사관계라 한다. 다르게 말하면, 집합 ${\displaystyle X}$에 대한 항등 관계(영어: identity relation) ${\displaystyle I_{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$에 대해 ${\displaystyle I_{X}\subset R}$일 때 ${\displaystyle R}$은 반사관계이다.

비반사관계

집합 ${\displaystyle X}$의 모든 원소가 반사관계를 만족하지 않을 때, 즉, 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대해 ${\displaystyle (x,x)\notin R}$일 때 이항관계 ${\displaystyle R}$을 비반사관계(영어: irreflexive relation)라 한다.

예시

다음은 반사관계의 예시이다. 즉 y=x이면 다음 관계를 만족한다.

• "x와 y가 같다" (등호)
• "x가 y보다 같거나 크다"
• "x가 y보다같거나 작다"
• "X가 Y의 부분집합이다" (집합의 포함관계)
• "x가 y를 나눈다" (약수 관계)

다음은 비반사관계의 예시이다. 즉 y=x이면 다음 관계를 만족하지 않는다.

• "x와 y가 같지 않다"
• "X가 Y의 진부분집합이다"
• "x가 y보다 크다"
• "x가 y보다 작다"

같이 보기

• 대칭 관계
• 반대칭관계
• 추이적 관계
• 동치 관계