유전환

환론에서, 유전환(遺傳環, 영어: hereditary ring)은 사영 가군의 부분 가군이 역시 사영 가군인 환이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 유전환(-遺傳環, 영어: left hereditary ring)이라고 한다.

• 사영 왼쪽 가군의 부분 가군은 사영 가군이다.
• 모든 왼쪽 아이디얼이 사영 왼쪽 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 범주 ${\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} }$의 대역 차원은 1 이하이다. 즉, 모든 왼쪽 가군의 사영 분해의 길이는 1 이하이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 반유전환(-半遺傳環, 영어: left semihereditary ring)이라고 한다.

• 유한 생성 사영 왼쪽 가군의 부분 가군은 사영 왼쪽 가군이다.
• 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼이 사영 왼쪽 가군이다.

마찬가지로 오른쪽 유전환(-遺傳環, 영어: right hereditary ring)과 오른쪽 반유전환(-半遺傳環영어: right semihereditary ring)을 정의할 수 있다.

물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

반단순환은 항상 왼쪽 유전환이자 오른쪽 유전환이다.

정역의 경우, 유전환인 것은 데데킨트 정역인 것과 동치이며, 반유전환인 것은 프뤼퍼 정역인 것과 동치이다.

예

삼각환

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Z} \end{pmatrix}}}$

은 왼쪽 유전환이지만 오른쪽 유전환이 아니다.^[1]