버코프-그로텐디크 정리

수학에서 버코프-그로텐디크 정리(영어: Birkhoff–Grothendieck theorem)는 복소 사영 직선 위의 정칙 벡터 다발을 분류한다. 특히 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 정칙 선다발들의 직합이다. 정리는 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 증명^[1]했다. 이는 조지 버코프가 1909에 도입한 버코프 인수분해와 거의 동일하다.^[2]

진술

보다 정확하게 정리의 진술은 다음과 같다.

모든 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ 위의 정칙 벡터 다발 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$는 선다발의 직합과 정칙 동형이다:

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

표기법은 각 합이 자명한 다발의 세르 꼬임임을 의미한다. 표현은 순열을 기준으로 유일하다.

일반화

임의의 체 ${\displaystyle k}$에 대해 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 위의 대수적 벡터 다발에 대한 대수 기하학에서도 동일한 결과가 성립한다.^[3] 그것은 또한 하나 또는 두 개의 오비폴드 점을 가진 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$에서도, 꼭지점을 따라 만나는 사영 직선 사슬에 대해서도 성립한다.^[4]

응용

이 정리로부터 모든 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$위의 연접층의 분류 할 수 있다.. 부분 다형체를 따라 지지되는 벡터 다발과 연접층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}}$두 가지 경우가 있다. 여기서 n은 ${\displaystyle x\in \mathbb {CP} ^{1}}$에서 두터운 점의 차수이다. 유일한 부분 다형체는 점이므로 연접층의 완전한 분류가 가능하다.

같이 보기

• 사영 공간의 대수 기하학
• 오일러 수열
• 분할 원리
• K이론
• 줄넘기