번사이드 보조정리

군론에서 번사이드 보조정리(영어: Burnside lemma)는 군의 작용에서 궤도의 수를 세는 정리다.

정의

유한군 ${\displaystyle G}$가 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 각 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여,

${\displaystyle X^{g}=\{x\in X\colon g\cdot x=x\}}$

가 ${\displaystyle g}$의 고정점의 집합이라고 하자. 또한,

${\displaystyle X/G=\{G\cdot x\colon x\in X\}}$

가 모든 궤도의 집합이라고 하자. 번사이드 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$

증명

다음과 같이 증명할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|}$	${\displaystyle =|\{(g,x)\in G\times X\colon g\cdot x=x\}|}$
	${\displaystyle =\sum _{x\in X}|G_{x}|}$	(여기서 ${\displaystyle G_{x}}$는 ${\displaystyle x}$의 안정자군이다.)
	${\displaystyle =\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G\cdot x|}}}$	(궤도-안정자군 정리)
	${\displaystyle =\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {|G|}{|A|}}}$	(${\displaystyle X/G}$는 ${\displaystyle X}$에 대한 분할을 이룬다.)
	${\displaystyle =\sum _{A\in X/G}|G|}$
	${\displaystyle =|X/G|\cdot |G|}$

역사

이 보조정리는 이미 오귀스탱 루이 코시에게 1845년 알려져 있었다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1887년 쓴 논문에도 수록되어 있다.^[1] 윌리엄 번사이드가 1897년 쓴 책에 프로베니우스를 인용하였고, 이 보조정리의 증명을 수록하였다.^[2] 번사이드는 군론에서 수많은 보조정리들을 증명하였는데, "번사이드 보조정리"는 번사이드가 증명하지 않은 몇 안되는 보조정리 가운데 하나이다. 혹자는 이 보조정리를 "번사이드가 증명하지 않은 보조정리"라고 부르기도 한다.^[3]

같이 보기

• 포여 열거 정리