벡터화

수학에서, 특히 선형대수학과 행렬 이론에서 행렬의 벡터화(Vector化, 영어:Vectorization)는 행렬을 세로 벡터로 바꾸는 선형변환의 하나이다. m×n행렬 A의 선형화는 vec(A)로 표기하며, 행렬 A의 열을 다음 열 위에 쌓아가며 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{T}}$

${\displaystyle a_{i,j}}$는 행렬 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle (i,j)}$ 성분을 나타내며, ${\displaystyle ^{T}}$는 전치행렬을 나타낸다. 벡터화는 (행렬과 벡터의)벡터 공간 사이의 동형 사상 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}}$을 나타낸다.

예를 들어, 2×2 행렬 ${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$를 벡터화하면${\displaystyle \mathrm {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}}$가 된다.

크로네커 곱과의 호환성

${\displaystyle {\mbox{vec}}(ABC)=(C^{T}\otimes A){\mbox{vec}}(B)}$

${\displaystyle {\mbox{vec}}(ABC)=(I_{n}\otimes AB){\mbox{vec}}(C)=(C^{T}B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)}$

${\displaystyle {\mbox{vec}}(AB)=(I_{m}\otimes A){\mbox{vec}}(B)=(B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)}$

아다마르 곱과의 호환성

vec(A ${\displaystyle \circ }$ B) = vec(A) ${\displaystyle \circ }$ vec(B).

내적과의 호환성

tr(A^* B) = vec(A)^* vec(B)

반벡터화

프로그래밍 언어

같이 보기

• 행렬화

참고 문헌

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Ed., Wiley. ISBN 0-471-98633-X.
• Jan R. Magnus (1988), Linear Structures, Oxford University Press. ISBN 0-85264-299-7.