벡터 값 미분 형식

미분기하학에서 벡터 값 미분 형식(vector값微分形式, 영어: vector-valued differential form)의 개념은 미분 형식의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 미분 형식 다발과 임의의 벡터 다발과의 텐서곱 다발의 단면이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 당김과 쐐기곱이 정의되지만, 일반적으로 외미분은 정의되지 않는다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle E}$값 미분 형식들의 벡터 다발은 다음과 같다.

${\displaystyle E\otimes \bigoplus _{p=0}^{\dim M}\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M}$

즉, ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle p}$차 미분 형식은 다음 단면 공간의 원소이다.

${\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Gamma \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M\right)=\Omega ^{p}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (E)}$

특히, ${\displaystyle \Omega ^{0}(M;E)=\Gamma (E)}$이며, 또한 자명한 벡터 다발 ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$에 대하여 ${\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Omega ^{p}(M)}$이다.

만약 ${\displaystyle E=M\times V}$가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 ${\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)}$를 ${\displaystyle \Omega ^{p}(M;V)}$로도 표기한다.

연산

당김

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$
• 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon N\to M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle p}$차 미분 형식 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M;E)}$

그렇다면, ${\displaystyle \omega }$의, ${\displaystyle f}$에 대한 당김

${\displaystyle f^{*}\omega \in \Omega ^{p}(N;f^{*}E)}$

를 자연스럽게 정의할 수 있다.

쐐기곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle p}$차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)}$
• ${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle F}$값의 ${\displaystyle q}$차 미분 형식 ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p}(M;E)}$

그렇다면, ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle \beta }$의 쐐기곱

${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{p+q}(M;E\otimes F)}$

을 정의할 수 있다.

리 대수 쐐기곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$. 또한, ${\displaystyle E}$의 각 올들이 단순히 실수 벡터 공간이 아니라, 실수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 구조를 갖춘다고 하자.
• ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle p}$차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)}$
• ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle q}$차 미분 형식 ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{q}(M;E)}$

그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, 리 괄호를 동시에 적용한 연산

${\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]\in \Omega ^{p+q}(M;E)}$

를 정의할 수 있다. 이 경우,

${\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]=(-1)^{pq+1}[\beta \wedge \alpha ]}$

가 성립한다.

외미분

일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) 외미분을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다.

보다 일반적으로, 벡터 다발에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다.

외부 링크

• “Differential form”. 《nLab》 (영어).
• “Groupoid of Lie-algebra valued forms”. 《nLab》 (영어).