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복소수 벡터 다발

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미분기하학에서 복소수 벡터 다발(複素數vector다발, 영어: complex vector bundle)은 올이 복소수 벡터 공간의 구조를 갖추는 매끄러운 벡터 다발이다.

정의

매끄러운 다양체 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 위의 복소구조는 다음과 같은 벡터 다발 사상이다.

따라서, 임의의 에서, 의 올 에 다음과 같은 유한 차원 복소수 벡터 공간의 구조를 줄 수 있다.

복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 복소수 벡터 다발이라고 한다.

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연산

요약
관점

켤레 벡터 다발

매끄러운 다양체 위의 복소수 벡터 다발 이 주어졌을 때, 역시 복소수 벡터 다발이다. 이를 켤레 복소수 벡터 다발(영어: conjugate complex vector bundle)이라고 하며, 보통 로 표기한다.

켤레 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 다음과 같다.

복소화

매끄러운 다양체 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

를 정의할 수 있으며, 이는 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이를 복소화(영어: complexification)라고 한다.

실수 벡터 다발의 복소화 의 경우, 항상 이다. 즉, 스스로의 켤레와 동형이 아닌 복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발의 복소화가 될 수 없다.

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추가 구조

요약
관점

에르미트 계량

복소수 매끄러운 벡터 다발 위의 에르미트 계량(영어: Hermitian metric)은 매끄러운 벡터 다발 매끄러운 단면 가운데, 각 점 에서 양의 정부호 에르미트 형식을 이루는 것이다.

에르미트 계량이 주어졌다면, 켤레 벡터 다발 는 표준적으로 쌍대 벡터 다발 과 동형이다.

에르미트 접속

에르미트 계량 를 갖춘 복소수 매끄러운 벡터 다발 위의 벡터 다발 접속 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 두 매끄러운 단면 에 대하여,

가 성립한다면, 이 접속을 에르미트 접속(영어: Hermitian connection)이라고 한다.

다양체는 정의에 따라 파라콤팩트 공간이므로, 모든 복소수 벡터 다발은 (하나 이상의) 에르미트 접속을 갖는다. (물론, 이는 일반적으로 유일하지 않다.)

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성질

접다발이 복소수 벡터 다발의 구조를 갖춘 매끄러운 다양체개복소다양체라고 한다.

매끄러운 다양체 위의 복소수 벡터 다발 가 주어졌으며, 또한 자체가 복소다양체를 이룬다고 하자. 이 경우, 의 복소구조는 서로 호환될 필요는 없다. 다만, 서로 호환되는 경우를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

복소수 벡터 다발에 대하여 천 특성류오일러 특성류를 정의할 수 있다.

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같이 보기

참고 문헌

외부 링크

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