볼록 곡선

기하학에서 볼록 곡선(영어: Convex curve)은 각 점을 지나는 지지선을 갖는 평면 곡선이다. 이 곡선들에 대한 다른 많은 동등한 정의들이 아르키메데스까지 거슬러 올라간다. 볼록 곡선의 예로는 볼록 다각형, 볼록 집합의 경계 (위상수학), 볼록 함수의 함수의 그래프 등이 있다. 볼록 곡선의 중요한 하위 분류로는 닫힌 볼록 곡선(유계 볼록 집합의 경계), 볼록인 매끄러운 곡선, 그리고 각 지지선이 곡선의 고유한 점을 통과하는 추가적인 특성을 가진 엄격하게 볼록한 곡선이 있다.

볼록 곡선(검은색)은 볼록 집합(파란색) 경계의 연결된 부분집합을 형성하며, 각 점을 지나는 지지선(빨간색)을 가진다.

포물선, 볼록 함수 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$의 그래프인 볼록 곡선

유계 볼록 곡선은 잘 정의된 길이를 가지며, 이는 다각형으로 근사하거나 선에 대한 투영의 평균 길이로부터 얻을 수 있다. 단일 곡선에 속할 수 있는 격자점의 최대 개수는 곡선의 길이에 의해 제어된다. 볼록 곡선이 고유한 지지선을 갖는 점들은 곡선 내에서 조밀하며, 이 선들이 원점에서 떨어진 거리는 연속적인 지지 함수를 정의한다. 매끄러운 단순 닫힌 곡선은 곡률이 일관된 부호를 가질 때만 볼록이며, 이는 전곡률이 절대 전곡률과 같을 때만 발생한다.

정의

아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥에 관하여》에서 볼록 호를 두 끝점을 지나는 선의 한쪽에 놓여 있고 모든 현이 곡선의 같은 쪽에 접하는 평면 곡선으로 정의했다.^[1] 이는 볼록성 개념의 최초의 공식적인 정의였을지 모르지만, 볼록 다각형과 볼록 다면체는 아르키메데스 이전부터 오랫동안 알려져 있었다.^[2] 다음 두 천년 동안 볼록성에 대한 연구는 거의 없었다.^[2] 깊이 있는 연구는 19세기에 오귀스탱 루이 코시와 다른 이들이 미적분학을 보다 엄밀한 기초 위에 놓기 위해 대수적 방법 대신 수학적 분석을 사용하기 시작했을 때야 다시 시작되었다.^[3][1][2]

아래에 자세히 설명된 바와 같이, 볼록 곡선에 대한 다른 많은 동등한 정의가 가능하다. 볼록 곡선은 지지선, 경계를 형성하는 집합, 선과의 교차점을 통해 정의되기도 한다. 닫힌 볼록 곡선과 닫히지 않은 곡선을 구별하기 위해, 닫힌 볼록 곡선은 때때로 볼록 루프라고 불렸고, 닫히지 않은 볼록 곡선은 볼록 호라고 불리기도 했다.^[4]

기본 개념

평면 곡선은 구간에서 평면으로의 연속 함수의 상이다. 직관적으로, 움직이는 점에 의해 그려질 수 있는 점들의 집합이다. 더 구체적으로, 매끄러운 곡선은 일반적으로 구간에서 평면으로의 함수가 적어도 연속 미분 가능해야 하며, 일부 맥락에서는 더 높은 미분을 요구하도록 정의된다. 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 함수는 종종 정칙이라고 가정되는데, 이는 그 도함수가 0에서 벗어나 있음을 의미한다. 직관적으로, 움직이는 점은 결코 멈추거나 방향을 바꾸지 않는다. 매끄러운 곡선의 각 내부 점은 접선을 갖는다. 또한, 두 번째 도함수가 모든 곳에 존재하면, 이들 각 점은 잘 정의된 곡률을 갖는다.^[5]

평면 곡선은 구간의 두 끝점이 평면의 같은 점에 매핑될 때 닫힌 곡선이고, 다른 두 점이 일치하지 않을 때 단순 곡선이다.^[5] 덜 일반적으로, 단순 평면 곡선은 위상적으로 선과 동등하며, 끝점이 없고 어떤 제한점도 형성하지 않으며, 평면을 두 개의 무한 영역으로 나눌 때 열린 곡선이라고 할 수 있다.^[6] 그러나 이 용어는 다른 출처에서 두 개의 다른 끝점을 가진 곡선을 열린 곡선으로 지칭하기 때문에 모호하다.^[7] 여기서는 열린 곡선을 위상적 선의 의미로 사용한다.

지지선

지지선은 곡선의 적어도 한 점을 포함하는 선으로, 곡선이 그 선에 의해 경계 지어진 두 반평면 중 하나에 포함된다. 평면 곡선은 각 점을 지나는 지지선을 가질 때 볼록이라고 불린다.^[8][9] 예를 들어, 볼록 함수의 그래프는 각 점을 지나는 그래프 아래의 지지선을 갖는다. 더 나아가, 함수가 도함수를 갖는 점에서는 접선인 정확히 하나의 지지선이 존재한다.^[10]

지지선과 접선은 동일한 것이 아니지만,^[11] 볼록 곡선의 경우 모든 접선은 지지선이다.^[8] 곡선에서 접선이 존재하는 점에서는 접선인 하나의 지지선만 존재할 수 있다.^[12] 따라서, 매끄러운 곡선은 각 접선의 한쪽에 놓여 있을 때 볼록이다. 이것은 매끄러운 곡선에 대해, 또는 더 일반적으로 조각마다 매끄러운 곡선에 대해 볼록성의 동등한 정의로 사용될 수 있다.^[13][a]

볼록 집합의 경계

볼록 곡선은 평면에 있는 볼록 집합의 경계의 연결된 부분집합으로도 정의될 수 있다.^[8][9] 모든 볼록 집합이 연결된 경계를 갖는 것은 아니지만,^[b] 그럴 때 전체 경계는 볼록 곡선의 예이다. 평면의 유계 볼록 집합이 선분이 아닐 때, 그 경계는 단순 닫힌 볼록 곡선을 형성한다.^[16] 조르당 곡선 정리에 의해 단순 닫힌 곡선은 평면을 내부와 외부 영역으로 나누고, 닫힌 볼록 곡선의 또 다른 동등한 정의는 그것의 내부와 합집합이 볼록 집합인 단순 닫힌 곡선이다.^[9][17] 열린 볼록 곡선과 무한 볼록 곡선의 예로는 볼록 함수의 그래프가 있다. 다시 말하지만, 이들은 같은 함수의 상위그래프인 볼록 집합의 경계이다.^[18]

이 정의는 지지선으로부터의 볼록 곡선 정의와 동등하다. 각 점을 지나는 지지선을 가진 곡선으로 정의된 모든 볼록 곡선은 자체 볼록 폐포 경계의 부분집합이다. 볼록 집합의 경계의 모든 연결된 부분집합은 각 점을 지나는 지지선을 갖는다.^[8][9][19]

선과의 교차점

선과 볼록 곡선(여기서는 오각형)의 네 가지 교차점. 위에서 아래로: 공집합, 한 점, 두 점, 그리고 구간.

볼록 곡선의 경우, 평면의 모든 선은 곡선과 네 가지 방식 중 하나로 교차한다: 교차점이 공집합이거나, 한 점이거나, 두 점이거나, 또는 구간일 수 있다. 닫힌 곡선이 한 점 또는 구간에서 교차하는 경우, 그 선은 지지선이다. 이것은 볼록 곡선의 대안적인 정의로 사용될 수 있다: 볼록 곡선은 선과의 모든 교차점이 이러한 네 가지 유형 중 하나인 조르당 곡선 (연결된 단순 곡선)이다. 이 정의는 볼록 곡선을 평면에서 실사영평면과 같은 특정 다른 선형 공간으로 일반화하는 데 사용될 수 있다. 이러한 공간에서는 평면과 마찬가지로 이러한 제한된 선 교차점만을 갖는 모든 곡선은 각 점에 대한 지지선을 갖는다.^[20]

엄격한 볼록성

엄격하게 볼록한 곡선도 많은 동등한 정의를 갖는다. 이들은 어떠한 선분도 포함하지 않는 볼록 곡선이다.^[21] 이들은 곡선과 선의 모든 교차점이 최대 두 개의 점으로 구성된 곡선이다.^[20] 이들은 엄격하게 볼록한 집합의 경계의 연결된 부분집합으로 형성될 수 있는 곡선이다.^[22] 여기서 집합은 경계의 모든 점이 집합의 극점, 즉 어떤 선형 함수의 유일한 최대화자인 경우 엄격하게 볼록하다.^[23] 엄격하게 볼록한 집합의 경계로서, 이들은 볼록 위치에 놓여 있는 곡선, 즉 어떤 점도 다른 부분집합 점들의 볼록 조합이 될 수 없음을 의미한다.^[24]

닫힌 엄격하게 볼록한 곡선은 엄격하게 볼록한 함수의 그래프와 (적절한 좌표 변환 하에서) 국소적으로 동등한 단순 닫힌 곡선으로 정의될 수 있다. 이는 곡선의 각 점에 대해 점들의 근방과 그 근방 내에서 곡선이 엄격하게 볼록한 함수의 그래프와 일치하는 직교좌표계가 존재함을 의미한다.^[25][c]

대칭성

수평 대칭축을 가진 알모양곡선

매끄러운 닫힌 볼록 곡선 중 타원이나 모스의 달걀(Moss's egg)처럼 대칭축을 갖는 곡선은 때때로 타원형 곡선이라고 불리기도 한다.^[28] 그러나 같은 단어는 각 점이 나머지 집합과 분리된 고유한 선을 갖는 집합을 묘사하는 데도 사용되었으며, 특히 유한 사영기하학의 알모양곡선의 맥락에서 그렇다. 유클리드 기하학에서는 이들이 매끄러운 엄격하게 볼록한 닫힌 곡선이며, 대칭 요구사항은 없다.^[20]

속성

길이와 넓이

모든 유계 볼록 곡선은 정확히 측정 가능한 곡선으로, 잘 정의된 유한한 곡선의 길이를 가지며, 내접하는 다각형 사슬의 수열에 의해 길이를 근사할 수 있다. 닫힌 볼록 곡선의 경우, 길이는 크로프턴 공식의 한 형태로 ${\displaystyle \pi }$에 선에 대한 투영의 평균 길이를 곱한 값으로 주어질 수 있다.^[8] 볼록 곡선의 볼록 폐포의 넓이도 내접하는 볼록 다각형의 수열에 의해 근사할 수 있다. 임의의 정수 ${\displaystyle n}$에 대해, 가장 정확한 근사 ${\displaystyle n}$-각형은 각 꼭짓점이 두 이웃 꼭짓점을 지나는 선에 평행한 지지선을 갖는다는 속성을 갖는다.^[29] 아르키메데스가 이미 알았듯이, 두 볼록 곡선이 같은 끝점을 갖고, 한 곡선이 다른 곡선과 그 끝점을 지나는 선 사이에 놓여 있으면, 안쪽 곡선이 바깥쪽 곡선보다 짧다.^[2]

뉴턴의 타원에 대한 정리에 따르면, 무한히 미분 가능한 볼록 곡선으로부터 선에 의해 잘린 넓이는 선의 계수의 대수 함수가 될 수 없다.^[30]

13개의 정수 격자점을 지나는 매끄러운 볼록 곡선

엄격하게 볼록한 곡선이 정수 격자의 많은 점을 통과하는 것은 불가능하다. 곡선의 길이가 ${\displaystyle L}$이라면, 보이테흐 야르니크의 정리에 따르면, 곡선이 통과할 수 있는 격자점의 수는 최대 $${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3})}$$ 이다. 이 추정치는 큰 O 표기법을 사용하므로 큰 길이에 대한 극한 경우에만 정확하다. 오차항의 선행 상수나 지수는 개선될 수 없다.^[31]

지지선과 지지 함수

볼록 곡선은 하나 이상의 지지선을 갖는 특이점을 최대 가산 개 가질 수 있다. 나머지 모든 점은 비특이점이어야 하며, 이들 점에서의 유일한 지지선은 필연적으로 접선이다. 이는 비특이점이 곡선에서 조밀 집합을 형성함을 의미한다.^[10][32] 특이점이 조밀한 볼록 곡선을 구성하는 것도 가능하다.^[19]

닫힌 엄격하게 볼록한 곡선은 연속적인 지지 함수를 가지며, 지지선의 각 방향을 원점으로부터의 부호 있는 거리로 매핑한다. 이것은 연속적인 지지 함수를 가진 선 시스템의 포락선으로 결정되는 곡선의 일종인 고슴도치의 예이다. 고슴도치에는 아스트로이드와 같은 비볼록 곡선, 심지어 자기 교차 곡선도 포함되지만, 매끄러운 엄격하게 볼록한 곡선만이 특이점이 없는 유일한 고슴도치이다.^[33]

볼록 곡선이 세 개의 평행한 접선을 갖는 것은 불가능하다. 더 강력하게, 매끄러운 닫힌 곡선은 세 개의 평행한 접선을 갖지 않을 때만 볼록이다. 한 방향에서, 세 개의 평행한 접선 중 가운데 접선은 다른 두 선의 접점을 분리하므로 지지선이 될 수 없다. 접점을 지나는 다른 지지선이 있을 수 없으므로, 이 세 선에 접하는 곡선은 볼록일 수 없다. 다른 방향에서, 비볼록 매끄러운 닫힌 곡선은 지지선이 없는 점을 적어도 하나 갖는다. 그 점을 지나는 접선과 그것에 평행한 두 지지 접선은 세 개의 평행한 접선을 형성한다.^[13][d]

곡률

타원 (빨간색)과 그 축폐선 (파란색), 즉 곡률 중심의 자취. 타원의 네 개의 표시된 정점은 축폐선의 네 개의 첨점에 해당한다.

4-정점 정리에 따르면, 모든 매끄러운 닫힌 곡선은 곡률의 국소적 최소점 또는 국소적 최대점인 적어도 네 개의 정점을 갖는다.^[36] 이 정리의 1909년 샤마더스 묵호파디아야에 의한 원래 증명은 볼록 곡선만을 고려했다.^[37] 이후 모든 매끄러운 닫힌 곡선으로 확장되었다.^[36]

곡률은 볼록인 매끄러운 닫힌 곡선을 특징짓는 데 사용될 수 있다.^[13] 곡률은 곡선의 매개변수화에 사소하게 의존한다. 곡선의 정칙 매개변수화가 역전되면 동일한 점들의 집합이 나오지만 곡률은 부호가 반대가 된다.^[5] 정칙 매개변수화를 가진 매끄러운 단순 닫힌 곡선은 곡률이 일관된 부호를 가질 때만 볼록이다: 항상 음수가 아니거나 항상 양수가 아닌 경우이다.^[13][e] 엄격하게 양수(또는 엄격하게 음수) 곡률을 가진 모든 매끄러운 단순 닫힌 곡선은 엄격하게 볼록하지만, 일부 엄격하게 볼록한 곡선은 곡률이 0인 점을 가질 수 있다.^[39]

매끄러운 볼록 곡선의 절대 전곡률, $${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$$는 최대 ${\displaystyle 2\pi }$이다. 닫힌 볼록 곡선의 경우 정확히 ${\displaystyle 2\pi }$이며, 이 곡선들과 모든 단순 닫힌 곡선의 전곡률과 같다. 볼록 곡선의 경우 절대 전곡률과 전곡률의 등가는 곡률이 일관된 부호를 갖는다는 사실에서 비롯된다. 볼록이 아닌 닫힌 곡선의 경우 절대 전곡률은 항상 ${\displaystyle 2\pi }$보다 크며, 그 초과분은 곡선이 볼록에서 얼마나 벗어났는지를 측정하는 데 사용될 수 있다. 더 일반적으로, 펜첼 정리에 따르면, 닫힌 매끄러운 공간 곡선의 절대 전곡률은 최소 ${\displaystyle 2\pi }$이며, 볼록 평면 곡선에 대해서만 등호가 성립한다.^[40][41]

알렉산드로프 정리에 따르면, 매끄럽지 않은 볼록 곡선은 거의 어디서나 이계 도함수를 가지므로 잘 정의된 곡률을 갖는다. 이는 이계 도함수가 없는 점들의 부분집합이 곡선에서 측도 0을 가짐을 의미한다. 그러나 다른 의미에서는 이계 도함수를 가진 점들의 집합이 작을 수 있다. 특히, 일반적인 매끄럽지 않은 볼록 함수의 그래프의 경우, 이 집합은 메거 집합, 즉 조밀한 곳이 없는 집합들의 가산 합집합이다.^[42]

내접 다각형

어떤 볼록 다각형의 경계도 볼록 곡선(조각별 선형 곡선이지만 엄격하게 볼록하지는 않은 곡선)을 형성한다. 어떤 엄격하게 볼록한 곡선에 내접하고 그 꼭짓점들이 곡선을 따라 순서대로 배열된 다각형은 볼록 다각형이어야 한다.^[43]

내접하는 사각형 문제는 평면의 모든 단순 닫힌 곡선이 정사각형의 네 꼭짓점을 포함한다는 것을 증명하는 문제이다. 일반적으로는 아직 해결되지 않았지만, 해결된 경우에는 볼록 곡선이 포함된다.^[44] 이 문제와 관련하여 볼록 곡선에 내접하는 사각형을 찾는 관련 문제들이 연구되었다. 어떤 직사각형이나 사다리꼴의 축척되고 회전된 복사본은 주어진 닫힌 볼록 곡선에 내접할 수 있다. 곡선이 매끄러울 때, 어떤 내접 사각형의 축척되고 회전된 복사본은 그 곡선에 내접할 수 있다. 그러나 이 결과에는 매끄러움의 가정이 필요하다. 왜냐하면 일부 직각연꼴은 일부 둔각 이등변 삼각형에 내접할 수 없기 때문이다.^[45][46] 변이 네 개보다 많은 정다각형은 모든 닫힌 볼록 곡선에 내접할 수 없다. 왜냐하면 반원과 그 지름으로 형성된 곡선은 이러한 다각형을 포함하지 않기 때문이다.^[47]

같이 보기

• 볼록면: 볼록 곡선의 고차원 일반화
• 볼록성 주제 목록

내용주

1. 접선을 사용하여 볼록 곡선을 정의할 때는 매끄러움의 가정이 필요하다. 수직 또는 일측 접선조차 없는 프랙탈 곡선, 심지어 연속 함수의 그래프도 존재한다.^[14] 이러한 곡선에 대해 각 접선의 한쪽에 놓여 있다는 것은 공허하게 참이지만, 볼록하지는 않다.
2. 슬래브, 즉 두 평행선 사이의 영역의 경우 경계는 두 정의선이다.^[15]
3. 많은 와선들도 국소적으로 볼록하지만 닫힌 곡선을 형성하지는 않는다.^[9][26] 비볼록 다각형은 조각마다 선형 볼록 함수의 그래프와 국소적으로 동등한 닫힌 곡선이지만, 이러한 함수는 엄격하게 볼록하지 않다.^[27]
4. 세 개의 평행한 접선을 갖지 않지만 볼록이 아닌 매끄러운 열린 곡선이 존재한다. 모든 삼차 다항식의 그래프가 그 예이다. 함수의 그래프에 대해 어떤 접선의 기울기는 그 점에서의 함수의 도함수이며,^[34] 삼차 함수의 도함수는 이차 다항식이므로 주어진 기울기를 최대 두 번 생성한다.^[35]
5. 장미곡선과 같은 일부 비단순 닫힌 곡선도 일관된 부호의 곡률을 갖는다.^[38]